《2025年全品学练考九年级数学上册北师大版深圳专版》

我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.
你能用配方法解方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$吗？
计算引导
解一元二次方程：$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$.
方程两边同除以a，得$x^{2}+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0$.
配方，得$x^{2}+\frac {b}{a}x+$$(\frac {b}{2a})^{2}$$-$$(\frac {b}{2a})^{2}$$+$$\frac {c}{a}$$=0$，
即$(x+$$\frac {b}{2a}$$)^{2}-$$\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}$$=0$.
移项，得$(x+\frac {b}{2a})^{2}=\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}$.
因为$a≠0$，所以$4a^{2}$＞0.
当$b^{2}-4ac≥0$时，$\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}$≥0，
所以$x+\frac {b}{2a}=$$\pm \sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$，
即$x_{1}=$$\frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$，$x_{2}=$$\frac {-b-\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$.

答案： $x^{2}+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0$ $(\frac {b}{2a})^{2}$ $(\frac {b}{2a})^{2}$
$\frac {c}{a}$ $\frac {b}{2a}$ $\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}$ $(x+\frac {b}{2a})^{2}=\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}$
$＞$ $\geqslant$ $\pm \sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ $\frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$
$\frac {-b-\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$

公式法：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，当$b^{2}-4ac≥0$时，它的根是$x=$$\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$.
这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.

答案： $\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$

例1 解方程：
(1)$x^{2}-7x-18=0$；解:这里$a=1,b=-7,c=-18.$$\because b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×1×(-18)=121＞0,$$\therefore x=\frac {7\pm \sqrt {121}}{2×1}=\frac {7\pm 11}{2}$,即$x_{1}=9,x_{2}=-2.$
(2)$4x^{2}+1=4x$；解:移项,得$4x^{2}-4x+1=0.$这里$a=4,b=-4,c=1.$$\because b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×4×1=0,$$\therefore x=\frac {-(-4)\pm 0}{2×4}=\frac {1}{2},$即$x_{1}=x_{2}=\frac {1}{2}.$
(3)$2x^{2}-5=4(x+1)$.解:原方程整理得$2x^{2}-4x-9=0.$这里$a=2,b=-4,c=-9.$$\because b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×(-9)=88＞0,$$\therefore x=\frac {-(-4)\pm \sqrt {88}}{2×2}=\frac {2\pm \sqrt {22}}{2},$即$x_{1}=\frac {2+\sqrt {22}}{2},x_{2}=\frac {2-\sqrt {22}}{2}.$

答案： 例1 解:
(1)这里$a=1,b=-7,c=-18.$
$\because b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×1×(-18)=121＞0,$
$\therefore x=\frac {7\pm \sqrt {121}}{2×1}=\frac {7\pm 11}{2}$,即$x_{1}=9,x_{2}=-2.$
(2)移项,得$4x^{2}-4x+1=0.$
这里$a=4,b=-4,c=1.$
$\because b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×4×1=0,$
$\therefore x=\frac {-(-4)\pm 0}{2×4}=\frac {1}{2},$
即$x_{1}=x_{2}=\frac {1}{2}.$
(3)原方程整理得$2x^{2}-4x-9=0.$
这里$a=2,b=-4,c=-9.$
$\because b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×(-9)=88＞0,$
$\therefore x=\frac {-(-4)\pm \sqrt {88}}{2×2}=\frac {2\pm \sqrt {22}}{2},$
即$x_{1}=\frac {2+\sqrt {22}}{2},x_{2}=\frac {2-\sqrt {22}}{2}.$