《2025年全品学练考九年级数学上册北师大版深圳专版》

 在上一课时的第二个问题情境中，梯子底端滑动的距离$x(m)$满足方程$x^{2}+12x - 15 = 0$。我们已经求出了$x$的近似值，你能设法求出它的精确值吗？

答案： 解:能.方程变形为 $ x^{2}+12x = 15 $.
两边都加上 36,得 $ x^{2}+12x + 36 = 51 $,
即 $ (x + 6)^{2} = 51 $.
两边开平方,得 $ x + 6 = \pm \sqrt{51} $.
$\therefore x_{1} = -6 + \sqrt{51},x_{2} = -6 - \sqrt{51}$.

你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？
(1)$x^{2}=5$；$x=\pm\sqrt{5}$
(2)$2x^{2}+3=5$；$x=\pm1$
(3)$x^{2}+2x+1=5$；$x=-1\pm\sqrt{5}$
(4)$(x + 6)^{2}+7^{2}=10^{2}$。$x=-6\pm\sqrt{51}$

答案： 【解析】：
(1)对于方程$x^{2}=5$，根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a\geq0)$，则$x = \pm\sqrt{a}$，在方程$x^{2}=5$中，$a = 5$，所以$x=\pm\sqrt{5}$。
(2)对于方程$2x^{2}+3 = 5$，先进行移项可得$2x^{2}=5 - 3$，即$2x^{2}=2$，两边同时除以$2$，得到$x^{2}=1$，再根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$。
(3)对于方程$x^{2}+2x + 1 = 5$，根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，方程左边$x^{2}+2x + 1=(x + 1)^{2}$，则原方程可化为$(x + 1)^{2}=5$，根据平方根的定义，$x+1=\pm\sqrt{5}$，移项可得$x=-1\pm\sqrt{5}$。
(4)对于方程$(x + 6)^{2}+7^{2}=10^{2}$，先计算$7^{2}=49$，$10^{2}=100$，则原方程变为$(x + 6)^{2}+49 = 100$，移项可得$(x + 6)^{2}=100 - 49$，即$(x + 6)^{2}=51$，根据平方根的定义，$x + 6=\pm\sqrt{51}$，移项可得$x=-6\pm\sqrt{51}$。
【答案】：
(1)$x=\pm\sqrt{5}$；
(2)$x=\pm1$；
(3)$x=-1\pm\sqrt{5}$；
(4)$x=-6\pm\sqrt{51}$

直接开平方法：利用平方根的意义，通过开平方求形如$(x + m)^{2}=n(n\geqslant0)$的一元二次方程的解，这种方法称为直接开平方法。

答案： 平方

你能解方程$x^{2}+12x - 15 = 0$吗？你能设法把这个方程转化为$(x + m)^{2}=n$的形式吗？
解:能.方程变形为 $ x^{2}+12x = 15 $.
两边都加上36,得 $ x^{2}+12x + 36 = 51 $,
即 $ (x + 6)^{2} = 51 $.
两边开平方,得 $ x + 6 = \pm \sqrt{51} $.
$\therefore x_{1} = -6 + \sqrt{51},x_{2} = -6 - \sqrt{51}$.

答案： 解:能.方程变形为 $ x^{2}+12x = 15 $.
两边都加上 36,得 $ x^{2}+12x + 36 = 51 $,
即 $ (x + 6)^{2} = 51 $.
两边开平方,得 $ x + 6 = \pm \sqrt{51} $.
$\therefore x_{1} = -6 + \sqrt{51},x_{2} = -6 - \sqrt{51}$.

(1)填上适当的数，使下列等式成立：
①$x^{2}+12x+$36$=(x + 6)^{2}$；
②$x^{2}-4x+$4$=(x -$2$)^{2}$；
③$x^{2}+\frac{3}{2}x+$$\frac{9}{16}$$=(x +$$\frac{3}{4}$$)^{2}$。
(2)在上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？
常数项等于一次项系数一半的平方.

答案：
(1)①36 ②4 2 ③$\frac{9}{16}$ $\frac{3}{4}$
(2)常数项等于一次项系数一半的平方.

配方法：通过把一个一元二次方程的左边配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

答案： 完全平方式