《2025年全品学练考九年级数学上册北师大版深圳专版》

已知:如图1-1-3,在菱形ABCD中,$AB=AD$,对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)$AB=BC=CD=AD$;
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等).
又∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=AD.
(2)$AC⊥BD$.
证明:(2)∵AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD(菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABD中,
∵OB=OD,
∴AO⊥BD,即AC⊥BD.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等).
又
∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=AD.
(2)
∵AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又
∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD(菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABD中,
∵OB=OD,
∴AO⊥BD,即AC⊥BD.

菱形的性质:
(1)对称性:菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
(2)性质定理:①菱形的四条边相等;②菱形的对角线互相垂直.

答案：
(1)轴 中心
(2)①相等 ②垂直

例1(教材典题)如图1-1-4,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,$∠BAD=60^{\circ },BD=6$,求菱形的边长AB和对角线AC的长.

AB=6,AC=6√3

答案： 例1 AB=6,AC=6√3

变式1 如图1-1-5,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,$∠DAC=30^{\circ }$,则$∠ABC=$120$^{\circ }$.

答案： 变式1 120

变式2 如图1-1-6,已知菱形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,$∠BCD=120^{\circ }$,则AO的长为____2.

答案： 变式2 2

变式3 如图1-1-7,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,$AC=24,BD=10$,则菱形ABCD的周长为52.

答案： 变式3 52