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28.(10分)(2025·山东威海期末)如图所示是轻质杠杆AB,BO= 2AO。当容器中无液体时,杠杆保持平衡。已知物体N的质量为3.8kg、高度为1m、底面积为$20cm^2,$物体N下端对容器底的压强为$1.2×10^4Pa,g$取10N/kg。求：
(1)此时N对容器底的压力。
(2)物体M的重力。
(3)若向容器中持续加入某液体,杠杆始终保持平衡,所加液体密度的最大值。
(1)此时N对容器底的压力。
(2)物体M的重力。
(3)若向容器中持续加入某液体,杠杆始终保持平衡,所加液体密度的最大值。
答案：
28. （1） $ 24 \, \text{N} $ （2） $ 28 \, \text{N} $ （3） $ 1.2 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3} $
解析：（1）物体 $ N $ 的底面积 $ S_{N} = 20 \, \text{cm}^{2} = 2 \times 10^{-3} \, \text{m}^{2} $，由 $ p = \frac{F}{S} $ 可得， $ N $ 对容器底的压力 $ F_{N} = p S_{N} = 1.2 \times 10^{4} \, \text{Pa} \times 2 \times 10^{-3} \, \text{m}^{2} = 24 \, \text{N} $。（2）物体 $ N $ 的重力 $ G_{N} = m_{N} g = 3.8 \, \text{kg} \times 10 \, \text{N/kg} = 38 \, \text{N} $，力的作用是相互的，则物体 $ N $ 所受支持力等于其对容器底的压力 $ 24 \, \text{N} $，物体 $ N $ 受力平衡，则 $ B $ 点对 $ N $ 的拉力 $ F_{\text{拉}} = G_{N} - F_{\text{支}} = 38 \, \text{N} - 24 \, \text{N} = 14 \, \text{N} $， $ B $ 点受到的拉力 $ F_{B} = F_{\text{拉}} = 14 \, \text{N} $。由杠杆的平衡条件可得 $ F_{A} \times AO = F_{B} \times BO $，则 $ F_{A} = \frac{F_{B} \times BO}{AO} = \frac{14 \, \text{N} \times 2AO}{AO} = 28 \, \text{N} $，物体 $ M $ 处于平衡状态，则 $ A $ 点所受拉力与 $ M $ 的重力相等，即 $ G_{M} = F_{A} = 28 \, \text{N} $。（3）假设加入密度为 $ \rho $ 的液体将物体 $ N $ 浸没时，容器对物体 $ N $ 的支持力恰好为 $ 0 $，则 $ V_{\text{排}} = V_{N} = S_{N} h_{N} = 20 \times 10^{-4} \, \text{m}^{2} \times 1 \, \text{m} = 0.002 \, \text{m}^{3} $，此时所加液体的密度最大（若密度大于此值， $ N $ 所受浮力增大会使得杠杆左端下沉而无法保持平衡），由杠杆的平衡条件可知， $ B $ 点所受拉力仍为 $ F_{B} = 14 \, \text{N} $，则对 $ N $ 的拉力仍为 $ F_{\text{拉}} = 14 \, \text{N} $，所以物体 $ N $ 被液体浸没时，所受浮力 $ F_{\text{浮}} = G_{N} - F_{\text{拉}} = 38 \, \text{N} - 14 \, \text{N} = 24 \, \text{N} $，由 $ F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}} V_{\text{排}} g $ 可得，液体密度 $ \rho = \frac{F_{\text{浮}}}{V_{\text{排}} g} = \frac{24 \, \text{N}}{0.002 \, \text{m}^{3} \times 10 \, \text{N/kg}} = 1.2 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3} $，即所加液体密度的最大值为 $ 1.2 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3} $。
解析：（1）物体 $ N $ 的底面积 $ S_{N} = 20 \, \text{cm}^{2} = 2 \times 10^{-3} \, \text{m}^{2} $，由 $ p = \frac{F}{S} $ 可得， $ N $ 对容器底的压力 $ F_{N} = p S_{N} = 1.2 \times 10^{4} \, \text{Pa} \times 2 \times 10^{-3} \, \text{m}^{2} = 24 \, \text{N} $。（2）物体 $ N $ 的重力 $ G_{N} = m_{N} g = 3.8 \, \text{kg} \times 10 \, \text{N/kg} = 38 \, \text{N} $，力的作用是相互的，则物体 $ N $ 所受支持力等于其对容器底的压力 $ 24 \, \text{N} $，物体 $ N $ 受力平衡，则 $ B $ 点对 $ N $ 的拉力 $ F_{\text{拉}} = G_{N} - F_{\text{支}} = 38 \, \text{N} - 24 \, \text{N} = 14 \, \text{N} $， $ B $ 点受到的拉力 $ F_{B} = F_{\text{拉}} = 14 \, \text{N} $。由杠杆的平衡条件可得 $ F_{A} \times AO = F_{B} \times BO $，则 $ F_{A} = \frac{F_{B} \times BO}{AO} = \frac{14 \, \text{N} \times 2AO}{AO} = 28 \, \text{N} $，物体 $ M $ 处于平衡状态，则 $ A $ 点所受拉力与 $ M $ 的重力相等，即 $ G_{M} = F_{A} = 28 \, \text{N} $。（3）假设加入密度为 $ \rho $ 的液体将物体 $ N $ 浸没时，容器对物体 $ N $ 的支持力恰好为 $ 0 $，则 $ V_{\text{排}} = V_{N} = S_{N} h_{N} = 20 \times 10^{-4} \, \text{m}^{2} \times 1 \, \text{m} = 0.002 \, \text{m}^{3} $，此时所加液体的密度最大（若密度大于此值， $ N $ 所受浮力增大会使得杠杆左端下沉而无法保持平衡），由杠杆的平衡条件可知， $ B $ 点所受拉力仍为 $ F_{B} = 14 \, \text{N} $，则对 $ N $ 的拉力仍为 $ F_{\text{拉}} = 14 \, \text{N} $，所以物体 $ N $ 被液体浸没时，所受浮力 $ F_{\text{浮}} = G_{N} - F_{\text{拉}} = 38 \, \text{N} - 14 \, \text{N} = 24 \, \text{N} $，由 $ F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}} V_{\text{排}} g $ 可得，液体密度 $ \rho = \frac{F_{\text{浮}}}{V_{\text{排}} g} = \frac{24 \, \text{N}}{0.002 \, \text{m}^{3} \times 10 \, \text{N/kg}} = 1.2 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3} $，即所加液体密度的最大值为 $ 1.2 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3} $。
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