《2025年通城学典初中数学运算能手八年级数学沪科版》

9.(20分)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AD=12,BD=10,
AC=26.
　　　(1)求△ADO的周长;
　　　(2)求证:△ADO是直角三角形.
　　　　

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC = $\frac{1}{2}$AC，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD。
∵AC = 26，BD = 10，
∴OA = 13，OD = 5。
∵AD = 12，
∴△ADO的周长为OD + AD + OA = 5 + 12 + 13 = 30。
(2)由
(1)，知OA = 13，OD = 5，AD = 12。
∵5² + 12² = 13²，
∴OD² + AD² = OA²。
∴△ADO是直角三角形。

10.(24分)如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A，
B,其中AB=AC,由于某种原因,由点C到点A的路现在已经不通,该村庄为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,测得BC=1.5km,CH=1.2km,BH=0.9km.
　　　(1)CH是否为从村庄C到河边的最近路？请说明理由.
　　　(2)新路CH比原路CA少多少千米?
　　　　　

答案：
(1)是。理由：在△CHB中，
∵BC = 1.5km，CH = 1.2km，BH = 0.9km，
∴CH² + BH² = BC²。
∴△CHB是直角三角形，其中∠CHB = 90°。
∴CH⊥AB。
∴CH是村庄C到河边的最近路。
(2)设AB = AC = xkm，则AH = (x - 0.9)km。在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC² = AH² + CH²，
∴x² = (x - 0.9)² + 1.2²，解得x = 1.25。
∴CA - CH = 1.25 - 1.2 = 0.05(km)。答：新路CH比原路CA少0.05km。