《2025年通城学典初中数学运算能手八年级数学沪科版》

7.已知正比例函数y=(m + 1)x$^{m^2 - 3}$的图象经过第二、四象限,则m的值为________.

答案： −2

8.已知点A(1,0),B(0,2),点P在x轴上,且三角形PAB的面积是5,则点P的坐标是__________.

答案： (−4,0)或(6,0)

9.(24分)已知函数y=(m−1)x$^{m^2 - 3}$是正比例函数.
　(1)若y随x的增大而减小,求m的值;
　(2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值.

答案： 因为函数y=(m - 1)x^(m² - 3)是正比例函数，所以$\begin{cases}m - 1 \neq 0 \\ m² - 3 = 1\end{cases}$，解得m₁ = -2，m₂ = 2。
(1)因为y随x的增大而减小，所以m - 1 ＜ 0，所以m ＜ 1，所以m = -2。
(2)因为函数的图象过第一、三象限，所以m - 1 ＞ 0，所以m ＞ 1，所以m = 2。

10.(28分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(−2,8),B(−11,6),C(−14,0)，
D(0,0).
　　(1)在平面直角坐标系中标出点A,B,C,D,连接AB,BC,CD,AD,BD,并求四边形ABCD的面积.
　　(2)在y轴上是否存在一点P,使三角形PCD的面积与三角形BCD的面积相等？若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
　　　

答案：

(1)如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F。
S四边形ABCD = S三角形ADF + S梯形ABEF + S三角形BCE = $\frac{1}{2}$×2×8 + $\frac{1}{2}$×(6 + 8)×9 + $\frac{1}{2}$×3×6 = 8 + 63 + 9 = 80。
(2)存在。设点P的坐标为(0,t)。因为S三角形PCD = S三角形BCD，所以$\frac{1}{2}$×14×|t| = $\frac{1}{2}$×14×6，解得t₁ = 6，t₂ = -6。所以点P的坐标为(0,6)或(0, -6)。

1. 已知y与x + 1成正比例，且当x = 1时，y = 2，则当x = −1时，y的值是________.

答案： 0

2. 已知y = y1 + y2，y1与x成正比例，y2与x + 1成正比例. 当x = 1时，y = 5；当x = 2时，y = 8. 当x = 4时，y的值为________.

答案： 14

3. 若点A(m, n)在直线y = kx(k ≠ 0)上，当−1 ≤ m ≤ 1时，−1 ≤ n ≤ 1，则这条直线对应的函数表达式为______________.

答案： y = x或y = -x

4. 如图，正比例函数y = kx的图象经过点A.
　(1)求该正比例函数的表达式;
　(2)若这个函数的图象还经过点B(m, m + 3)，求m的值;
　(3)请你判断点P(−$\frac{3}{2}$, 1)是否在这个函数的图象上，为什么？
　　　

答案：
(1)由题图,可知点A的坐标为(-1, 2),代入y = kx,易得k = -2,则正比例函数的表达式为y = -2x。
(2)将B(m, m + 3)代入y = -2x,得-2m = m + 3,解得m = -1。
(3)点P不在这个函数的图象上。当x = $\frac{3}{2}$时,y = -2×$\frac{3}{2}$ = -3 ≠ 1,所以点P不在这个函数的图象上。

5. 如图，正比例函数y = kx的图象经过点A，点A在第四象限. 过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且三角形AOH的面积为4.5.
　(1)求该正比例函数的表达式.
　(2)在x轴上是否存在一点P，使三角形AOP的面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
　　　　

答案：
(1)因为点A的横坐标为3,且三角形AOH的面积为4.5,所以点A的纵坐标为-3,即点A的坐标为(3, -3)。因为正比例函数y = kx的图象经过点A,所以3k = -3,解得k = -1。所以正比例函数的表达式为y = -x。
(2)存在。因为三角形AOP的面积为6,点A的坐标为(3, -3),所以OP = 4。所以点P的坐标为(4, 0)或(-4, 0)