1. 首先，根据元素与集合的关系进行分类讨论：

情况一：当$a + 2=1$时：

解方程$a + 2=1$，可得$a=-1$。

此时集合$\{1,2,a^{2}\}$为$\{1,2,1\}$，不满足集合中元素的互异性（集合中的元素具有互异性，即集合中的元素都不相同），所以$a=-1$舍去。

情况二：当$a + 2=2$时：

解方程$a + 2=2$，可得$a = 0$。

此时集合$\{1,2,a^{2}\}$为$\{1,2,0\}$，满足集合中元素的性质。

情况三：当$a + 2=a^{2}$时：

移项得到$a^{2}-a - 2 = 0$。

根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（对于方程$ax^{2}+bx + c = 0$，这里$a = 1$，$b=-1$，$c=-2$），也可利用因式分解$a^{2}-a - 2=(a - 2)(a + 1)=0$。

解得$a = 2$或$a=-1$（$a=-1$已舍去，原因同情况一）。

当$a = 2$时，集合$\{1,2,a^{2}\}$为$\{1,2,4\}$，满足集合中元素的性质。

2. 综上：

$a$的值为$0$或$2$。

所以答案是BD。