8. 若集合$ A = \{x | -5 \leq x ＜ 2\} $，$ B = \{x | -3 \leq x \leq 3\} $，分别求$ A \cap B $和$ A \cup B $。
答案：$ A \cap B = [-3, 2) $，$ A \cup B = [-5, 3] $
解析：在数轴上表示集合$ A $和$ B $，可得$ A \cap B = \{x | -3 \leq x ＜ 2\} = [-3, 2) $，$ A \cup B = \{x | -5 \leq x \leq 3\} = [-5, 3] $。
10. 已知集合$ M = \{y | y = -4x + 6, x \in \mathbf{R}\} $，$ N = \{y | y = -x^2 + 1, x \in \mathbf{R}\} $，求$ M \cap N $和$ M \cup N $。
$ M \cap N = $
$(-\infty, 1]$
，$ M \cup N = $
$\mathbf{R}$
。
答案：$ M \cap N = (-\infty, 1] $，$ M \cup N = \mathbf{R} $
解析：$ M = \mathbf{R} $（一次函数值域为全体实数），$ N = \{y | y \leq 1\} $（二次函数开口向下，最大值为1）。所以$ M \cap N = N = (-\infty, 1] $，$ M \cup N = M = \mathbf{R} $。
11. 对于任意的两个正整数$ m$，$ n $，定义运算$ \oplus $：当$ m$，$ n $都为偶数或都为奇数时，$ m \oplus n = \frac{m + n}{2} $；当$ m$，$ n $为一奇一偶时，$ m \oplus n = \sqrt{mn} $。设集合$ A = \{(m, n) | m \oplus n = t, m, n \in \mathbf{N}^*\} $，且$ (1, 4) \in A $。
(1) 求实数$ t $的值；
(2) 用列举法写出集合$ A $。
答案：(1) $ 2 $
解析：1为奇数，4为偶数，一奇一偶，所以$ 1 \oplus 4 = \sqrt{1 × 4} = 2 $，即$ t = 2 $。
(2) $ \{(1, 4), (4, 1), (2, 2), (3, 1), (1, 3)\} $
解析：分情况讨论：
- 当$ m $，$ n $一奇一偶时，$ \sqrt{mn} = 2 $，$ mn = 4 $，正整数解为$ (1, 4) $，$ (4, 1) $。
- 当$ m $，$ n $同奇或同偶时，$ \frac{m + n}{2} = 2 $，$ m + n = 4 $，正整数解为$ (1, 3) $，$ (3, 1) $，$ (2, 2) $。所以$ A = \{(1, 4), (4, 1), (2, 2), (3, 1), (1, 3)\} $。
12. 已知全集$ U = \{x | x 为不大于 30 的质数\} $，集合$ A$，$ B $均为全集$ U $的子集。若$ A \cap \complement_U B = \{5, 13, 23\} $，$ B \cap \complement_U A = \{11, 19, 29\} $，$ \complement_U A \cap \complement_U B = \{3, 7\} $，求集合$ A $和$ B $。
集合$ A $为
$\{2, 5, 13, 17, 23\}$
，集合$ B $为
$\{2, 11, 17, 19, 29\}$
。
答案：$ A = \{2, 5, 13, 17, 23\} $，$ B = \{2, 11, 17, 19, 29\} $
解析：不大于30的质数有$ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 $，即$ U = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\} $。
由$ \complement_U A \cap \complement_U B = \{3, 7\} $，知$ A \cup B = U \setminus \{3, 7\} = \{2, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29\} $。
$ A $中独有的元素为$ A \cap \complement_U B = \{5, 13, 23\} $，$ B $中独有的元素为$ B \cap \complement_U A = \{11, 19, 29\} $，公共元素为$ (A \cup B) \setminus (A \cap \complement_U B \cup B \cap \complement_U A) = \{2, 17\} $。所以$ A = \{2, 5, 13, 17, 23\} $，$ B = \{2, 11, 17, 19, 29\} $。
