学习与评价江苏凤凰教育出版社高中数学苏教版
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9. 若不等式|x-1|＜a成立的一个充分条件是0＜x＜4，求实数a的取值范围.
答案：a≥3
解析：当0＜x＜4时，|x-1|∈[0,3)，不等式成立的充分条件，则a≥3。
10. 是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x＞2或x＜-1”的充分条件？必要条件？若存在求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案：1. 首先分析充分条件：
设$A=\left\{x\vert4x + p\lt0\right\}=\left\{x\vert x\lt-\frac{p}{4}\right\}$，$B = \{ x|x\gt2或x\lt - 1\}$。
若“$4x + p\lt0$”是“$x\gt2$或$x\lt - 1$”的充分条件，则$A\subseteq B$。
要使$A\subseteq B$，则$-\frac{p}{4}\leq - 1$，解得$p\geq4$。
2. 然后分析必要条件：
若“$4x + p\lt0$”是“$x\gt2$或$x\lt - 1$”的必要条件，则$B\subseteq A$。
因为对于$B = \{ x|x\gt2或x\lt - 1\}$，无论$p$取何值，都不可能使$B\subseteq A=\left\{x\vert x\lt-\frac{p}{4}\right\}$（例如当$x = 3$时，若$B\subseteq A$，则$3\lt-\frac{p}{4}$，这是不可能的）。
综上，当$p\geq4$时，“$4x + p\lt0$”是“$x\gt2$或$x\lt - 1$”的充分条件；不存在实数$p$，使“$4x + p\lt0$”是“$x\gt2$或$x\lt - 1$”的必要条件。
11. 设a，b，c是△ABC的三条边，求证：a²+b²+c²=ab+bc+ca成立的充要条件是△ABC为等边三角形.
答案：证明见解析
解析：充分性：等边三角形a=b=c，等式成立；必要性：a²+b²+c²-ab-bc-ca=0⇒1/2[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]=0⇒a=b=c，等边三角形。
12. 已知xy≠0，p:x+y=1，q:x³+y³+xy-x²-y²=0，求证：p是q的充要条件.
答案：证明见解析
解析：充分性：x+y=1，x³+y³+xy-x²-y²=(x+y)(x²-xy+y²)-(x²+y²)+xy=1·(x²-xy+y²)-x²-y²+xy=0；必要性：q式化简得(x+y-1)(x²-xy+y²)=0，xy≠0⇒x²-xy+y²≠0⇒x+y=1，故充要条件。
