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1. 求下列二次函数的最大值或最小值.
(1) $ y = -x^{2} + 2x $； (2) $ y = 2x^{2} - 2x + 1 $；
(3) $ y = -2x^{2} + 4x - 1 $； (4) $ y = 3x^{2} - 2x - 1 $.
(1) $ y = -x^{2} + 2x $； (2) $ y = 2x^{2} - 2x + 1 $；
(3) $ y = -2x^{2} + 4x - 1 $； (4) $ y = 3x^{2} - 2x - 1 $.
答案：
1. 解：
(1)$y=-x^{2}+2x=-(x-1)^{2}+1$，
$\because a=-1＜0$，$\therefore$当$x=1$时，$y$有最大值1.
(2)$y=2x^{2}-2x+1=2(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}$，
$\because a=2＞0$，$\therefore$当$x=\frac{1}{2}$时，$y$有最小值$\frac{1}{2}$.
(3)$y=-2x^{2}+4x-1=-2(x-1)^{2}+1$，
$\because a=-2＜0$，$\therefore$当$x=1$时，$y$有最大值1.
(4)$y=3x^{2}-2x-1=3(x-\frac{1}{3})^{2}-\frac{4}{3}$，
$\because a=3＞0$，$\therefore$当$x=\frac{1}{3}$时，$y$有最小值$-\frac{4}{3}$.
(1)$y=-x^{2}+2x=-(x-1)^{2}+1$，
$\because a=-1＜0$，$\therefore$当$x=1$时，$y$有最大值1.
(2)$y=2x^{2}-2x+1=2(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}$，
$\because a=2＞0$，$\therefore$当$x=\frac{1}{2}$时，$y$有最小值$\frac{1}{2}$.
(3)$y=-2x^{2}+4x-1=-2(x-1)^{2}+1$，
$\because a=-2＜0$，$\therefore$当$x=1$时，$y$有最大值1.
(4)$y=3x^{2}-2x-1=3(x-\frac{1}{3})^{2}-\frac{4}{3}$，
$\because a=3＞0$，$\therefore$当$x=\frac{1}{3}$时，$y$有最小值$-\frac{4}{3}$.
2. (2024·徐州中考模拟试题)如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 6 \mathrm{ cm} $，$ BC = 2 \mathrm{ cm} $，点 $ P $ 在边 $ AC $ 上，从点 $ A $ 向点 $ C $ 移动，点 $ Q $ 在边 $ CB $ 上，从点 $ C $ 向点 $ B $ 移动. 若点 $ P $，$ Q $ 均以 $ 1 \mathrm{ cm/s} $ 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 $ PQ $，求线段 $ PQ $ 长度的最小值.
答案：
2. 解：设运动的时间为$t\mathrm{s}$.
$\because AP=CQ=t\mathrm{cm}$，$\therefore CP=(6-t)\mathrm{cm}$，
$\therefore PQ=\sqrt{PC^{2}+CQ^{2}}=\sqrt{(6-t)^{2}+t^{2}}=\sqrt{2(t-3)^{2}+18}$.
$\because 0≤ t≤ 2$，$\therefore$当$t=2$时，$PQ$的长最小，
$\therefore$线段$PQ$长度的最小值是$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$.
$\because AP=CQ=t\mathrm{cm}$，$\therefore CP=(6-t)\mathrm{cm}$，
$\therefore PQ=\sqrt{PC^{2}+CQ^{2}}=\sqrt{(6-t)^{2}+t^{2}}=\sqrt{2(t-3)^{2}+18}$.
$\because 0≤ t≤ 2$，$\therefore$当$t=2$时，$PQ$的长最小，
$\therefore$线段$PQ$长度的最小值是$2\sqrt{5}\mathrm{cm}$.
3. 求下列条件下，二次函数 $ y = -2x^{2} + 3x + 1 $ 的最值：
① $ x $ 为任意实数；② $ -2 ≤ x ≤ 0 $；③ $ 1 ≤ x ≤ 3 $；④ $ -1 ≤ x ≤ 2 $.
① $ x $ 为任意实数；② $ -2 ≤ x ≤ 0 $；③ $ 1 ≤ x ≤ 3 $；④ $ -1 ≤ x ≤ 2 $.
答案：
3. 解：$y=-2x^{2}+3x+1=-2(x-\frac{3}{4})^{2}+\frac{17}{8}$.
①$x$为任意实数，二次函数$y=-2x^{2}+3x+1$的最大值为$\frac{17}{8}$，无最小值；
②$-2≤ x≤ 0$，二次函数$y=-2x^{2}+3x+1$的最大值为1，最小值为$-13$；
③$1≤ x≤ 3$，二次函数$y=-2x^{2}+3x+1$的最大值为2，最小值为$-8$；
④$-1≤ x≤ 2$，二次函数$y=-2x^{2}+3x+1$的最大值为$\frac{17}{8}$，最小值为$-4$.
①$x$为任意实数，二次函数$y=-2x^{2}+3x+1$的最大值为$\frac{17}{8}$，无最小值；
②$-2≤ x≤ 0$，二次函数$y=-2x^{2}+3x+1$的最大值为1，最小值为$-13$；
③$1≤ x≤ 3$，二次函数$y=-2x^{2}+3x+1$的最大值为2，最小值为$-8$；
④$-1≤ x≤ 2$，二次函数$y=-2x^{2}+3x+1$的最大值为$\frac{17}{8}$，最小值为$-4$.
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