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1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 24 $，$ AB = 25 $，计算 $ \tan A · \tan B - 1 $ 的值。
答案：
1.解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=7,
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{7}{24}$,tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{24}{7}$,
∴原式=$\frac{7}{24}$×$\frac{24}{7}$−1=0.
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{7}{24}$,tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{24}{7}$,
∴原式=$\frac{7}{24}$×$\frac{24}{7}$−1=0.
2. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ BC = 3 $，$ \tan A = 0.6 $，求 $ AC $ 和 $ AB $ 的长。
答案：
2.解:在Rt△ABC中,
∵tanA=$\frac{BC}{AC}$=0.6,BC=3,
∴AC=5,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=$\sqrt{5^{2}+3^{2}}$=$\sqrt{34}$.
∵tanA=$\frac{BC}{AC}$=0.6,BC=3,
∴AC=5,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=$\sqrt{5^{2}+3^{2}}$=$\sqrt{34}$.
3. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = BC = 15 $，$ \tan ∠ ABC = \frac{3}{4} $，求边 $ AC $ 的长。
答案：
3.解:如答图，过点A作AE⊥BC,垂足为E;
∵在Rt△ABE中,tan∠ABC=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$,AB=15,
∴AE=9,BE=12,
∴CE=BC−BE=15−12=3.
在Rt△AEC中,根据勾股定理，
得AC=$\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}$=$\sqrt{9^{2}+3^{2}}$=3$\sqrt{10}$
3.解:如答图，过点A作AE⊥BC,垂足为E;
∵在Rt△ABE中,tan∠ABC=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{4}$,AB=15,
∴AE=9,BE=12,
∴CE=BC−BE=15−12=3.
在Rt△AEC中,根据勾股定理，
得AC=$\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}$=$\sqrt{9^{2}+3^{2}}$=3$\sqrt{10}$
4. 若 $ ∠ A + ∠ B = 90^{\circ} $，且 $ \tan A + \tan B = 3 $，求 $ \tan A $ 的值。
答案：
4.解:设在Rt△ABC中,∠A,∠B的对边分别为a,b,如答图所示，则tanA=$\frac{a}{b}$,tanB=$\frac{b}{a}$.
∵tanA+tanB=3,
∴$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=3,
设$\frac{a}{b}$=x,则$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{x}$,
∴x+$\frac{1}{x}$=3,
整理,得x²−3x+1=0,
解得x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$,
∴tanA=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$,
4.解:设在Rt△ABC中,∠A,∠B的对边分别为a,b,如答图所示，则tanA=$\frac{a}{b}$,tanB=$\frac{b}{a}$.
∵tanA+tanB=3,
∴$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=3,
设$\frac{a}{b}$=x,则$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{x}$,
∴x+$\frac{1}{x}$=3,
整理,得x²−3x+1=0,
解得x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$,
∴tanA=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$,
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