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1. 如图，B 是线段 AC 的黄金分割点，且 $ AB＞BC $，若 $ AC = 2 $，求 $ AB $，$ BC $ 的长.
答案：
解：
∵B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\sqrt{5}-1$，
∴BC=AC−AB=2−($\sqrt{5}-1$)=3−$\sqrt{5}$.
∵B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\sqrt{5}-1$，
∴BC=AC−AB=2−($\sqrt{5}-1$)=3−$\sqrt{5}$.
2. 如图，C，D 是线段 AB 的黄金分割点，$ AB = 10 $，求线段 $ AC $ 与 $ CD $ 的长.
答案：
解：
∵C，D是线段AB的黄金分割点，
∴AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=5$\sqrt{5}$−5，BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=5$\sqrt{5}$−5，
∴AD=AB−BD=15−5$\sqrt{5}$，
∴CD=AC−AD=5$\sqrt{5}$−5−(15−5$\sqrt{5}$)=10$\sqrt{5}$−20.
∵C，D是线段AB的黄金分割点，
∴AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=5$\sqrt{5}$−5，BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=5$\sqrt{5}$−5，
∴AD=AB−BD=15−5$\sqrt{5}$，
∴CD=AC−AD=5$\sqrt{5}$−5−(15−5$\sqrt{5}$)=10$\sqrt{5}$−20.
3. 已知点 C 在线段 AB 上，且满足 $ AC^{2}=AB· BC $.
(1) 若 $ AB = 1 $，求 $ AC $ 的长；
(2) 若 $ AC $ 比 $ BC $ 大 2，求 $ AB $ 的长.
(1) 若 $ AB = 1 $，求 $ AC $ 的长；
(2) 若 $ AC $ 比 $ BC $ 大 2，求 $ AB $ 的长.
答案：
解：
(1)
∵点C在线段AB上，且满足AC²=AB·BC，
∴C是线段AB的黄金分割点，
∴AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB.
∵AB=1，
∴AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(2)设AC=x，
∵AC比BC大2，
∴BC=x−2，
∴AB=AC+BC=2x−2.
∵AC²=AB·BC，
∴x²=(2x−2)(x−2)，解得x₁=3+$\sqrt{5}$，x₂=3−$\sqrt{5}$(舍去)，
∴AB=2x−2=2$\sqrt{5}$+4.
(1)
∵点C在线段AB上，且满足AC²=AB·BC，
∴C是线段AB的黄金分割点，
∴AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB.
∵AB=1，
∴AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(2)设AC=x，
∵AC比BC大2，
∴BC=x−2，
∴AB=AC+BC=2x−2.
∵AC²=AB·BC，
∴x²=(2x−2)(x−2)，解得x₁=3+$\sqrt{5}$，x₂=3−$\sqrt{5}$(舍去)，
∴AB=2x−2=2$\sqrt{5}$+4.
4. (2024·江州区期末)大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”. 如图，P 为 $ AB $ 的黄金分割点$ (AP＞PB) $，如果 $ AP $ 的长度为 $ 8\mathrm{cm} $，求 $ AB $ 的长度.
答案：
解：因为P是AB的黄金分割点，且AP＞PB，
所以$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
因为AP=8cm，所以AB=8×$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$=(4$\sqrt{5}$+4)cm.
所以$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
因为AP=8cm，所以AB=8×$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$=(4$\sqrt{5}$+4)cm.
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