《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. (2025·泰州开学测试)如图,在相同的小正方形组成的网格中,$△ ABC$的各个顶点都在格点上,则$\sin A$的值为 (A)

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{2}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$

答案： 1.A

2. 如图,在$△ ABC$中,$\sin A=\frac{3}{5}$,$\tan B=\frac{1}{3}$,$BC=3\sqrt{10}$,求$AC$的长.

答案：
2.解:如答图，过点C作CD⊥AB于点D.
　　　　　
∵tanB=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{1}{3}$,设CD=x,则DB=3x.
∵BC=3$\sqrt{10}$,
∴x²+(3x)²=(3$\sqrt{10}$)²,
∴x=3,
∴CD=3.
　在Rt△ACD中,sinA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$,
　即$\frac{3}{AC}$=$\frac{3}{5}$,解得AC=5.

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90^{\circ}$,$BD⊥ AC$于点$D$. 若$AD:CD=4:1$,求$\sin A$,$\tan A$的值.

答案： 3.解:
∵∠ABC=90°,BD⊥AC,
∴∠BDC=∠BDA=90°.
∵∠ABD+∠CBD=90°,∠BCD+∠CBD=90°,
∴∠ABD=∠BCD,
∴Rt△CDB∽Rt△BDA,
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{BD}{DA}$,
∴BD²=CD·DA.
∵AD:CD=4:1,
∴设CD=k,则AD=4k,
∴BD=2k,从而AB=2$\sqrt{5}$k,
∴sinA=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2k}{2\sqrt{5}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{2k}{4k}$=$\frac{1}{2}$.

4. 在锐角$△ ABC$中,$AB=15$,$BC=14$,$S_{△ ABC}=84$,求$\cos C$,$\sin A$的值.

答案：
4.解:如答图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵S$_{△ ABC}$=$\frac{1}{2}$BC·AD=84,
∴$\frac{1}{2}$×14×AD=84,
∴AD=12.
　又
∵AB=15,
∴BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=9,
∴CD=CB - BD=14 - 9=5.
　在Rt△ADC中,AC=$\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}$=13,
∴cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{5}{13}$.
过点B作BE⊥AC于点E.
∵S$_{△ ABC}$=$\frac{1}{2}$AC·EB=84,
∴BE=$\frac{168}{13}$,
∴sin∠BAC=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{168}{13}}{15}$=$\frac{56}{65}$.