《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. 已知两个相似多边形的相似比是 $3:1$，它们的周长之和为 $60\mathrm{cm}$，面积之差为 $40\mathrm{cm}^2$，分别求这两个多边形的周长和面积。

答案： 解：由两个多边形的相似比为$3:1$，不妨设两个多边形的周长分别为$3a\mathrm{cm}$，$a\mathrm{cm}$，面积分别为$9S\mathrm{cm}^{2}$，$S\mathrm{cm}^{2}$。由题意，得$a + 3a = 60$，$9S - S = 40$，解得$a = 15$，$S = 5$，则$3a = 45$，$9S = 45$，所以两个多边形的周长分别为$15\mathrm{cm}$，$45\mathrm{cm}$，面积分别为$5\mathrm{cm}^{2}$，$45\mathrm{cm}^{2}$。

2. (2024·锡山区期末)如图，在$□ ABCD$中，$E$为$CD$边上的中点，$AE$交$BD$于点$O$。若$S_{△ DOE}=1$，求$□ ABCD$的面积。

答案： 解：$\because$在$□ ABCD$中，$E$为$CD$边上的中点，$\therefore DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$，$AB// CD$，$\therefore △ AOB∽△ EOD$，$\therefore \frac{AO}{OE} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DE} = 2$，$\therefore \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ DOE}} = (\frac{AB}{DE})^{2} = 2^{2} = 4$，即$S_{△ AOB} = 4S_{△ DOE} = 4$，又$S_{△ AOD} = 2S_{△ DOE} = 2$，$\therefore S_{□ ABCD} = 2(S_{△ AOB} + S_{△ AOD}) = 2×(4 + 2) = 12$。

3. 如图，在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，若$S_{△ AOD}:S_{△ ACD}=1:3$，求$S_{△ AOD}:S_{△ BOC}$的值。

答案： 解：$\because AD// BC$，$\therefore △ AOD∽△ COB$。又$\because S_{△ AOD}:S_{△ ACD} = 1:3$，$\therefore S_{△ AOD}:S_{△ COD} = 1:2$，$\therefore AO:OC = 1:2$，$\therefore △ AOD$与$△ BOC$的相似比为$1:2$，$\therefore S_{△ AOD}:S_{△ BOC} = 1:4$。

4. 如图，在$△ ABC$中，$BC＞AC$，点$D$在$BC$上，且$DC=AC$，$∠ ACB$的平分线$CF$交$AD$于点$F$，$E$是$AB$的中点，连接$EF$。若$△ ABD$的面积是$6$，求四边形$BDFE$的面积。

答案： 解：$\because CF$平分$∠ ACB$，$AC = DC$，$\therefore AF = DF$，即$F$为$AD$的中点。$\because E$为$AB$的中点，$\therefore EF// BD$，$\therefore △ AEF∽△ ABD$，且相似比为$1:2$，$\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABD}} = \frac{1}{4}$。$\because S_{△ ABD} = 6$，$\therefore S_{△ AEF} = 1.5$，$\therefore$四边形$BDFE$的面积为$6 - 1.5 = 4.5$。