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1. 已知关于 $ x $ 的函数 $ y = mx^{2}-6x + 1 $，根据下列条件求 $ m $ 的取值范围。
（1）该函数的图像与 $ x $ 轴有两个不同的交点；
（2）该函数的图像与 $ x $ 轴有唯一一个公共点；
（3）该函数的图像与 $ x $ 轴没有交点。
（1）该函数的图像与 $ x $ 轴有两个不同的交点；
（2）该函数的图像与 $ x $ 轴有唯一一个公共点；
（3）该函数的图像与 $ x $ 轴没有交点。
答案：
1. 解：
(1)由题意，得$\{ \begin{array} { l } { m ≠ 0, } \\ { ( - 6 ) ^ { 2 } - 4 m ＞ 0, } \end{array} $解得$m ＜ 9$且$m ≠ 0$。
(2)若$m = 0$，则一次函数$y = - 6 x + 1$的图像与$x$轴有唯一一个公共点；
若$m ≠ 0$，则$( - 6 ) ^ { 2 } - 4 m = 0$，解得$m = 9$。
综上所述，当$m = 9$或$m = 0$时，该函数的图像与$x$轴有唯一一个公共点。
(3)$\because$函数$y = m x ^ { 2 } - 6 x + 1$的图像与$x$轴没有交点，
$\therefore m ≠ 0$，且$( - 6 ) ^ { 2 } - 4 m ＜ 0$，解得$m ＞ 9$。
$\therefore$当$m ＞ 9$时，该函数的图像与$x$轴没有交点。
(1)由题意，得$\{ \begin{array} { l } { m ≠ 0, } \\ { ( - 6 ) ^ { 2 } - 4 m ＞ 0, } \end{array} $解得$m ＜ 9$且$m ≠ 0$。
(2)若$m = 0$，则一次函数$y = - 6 x + 1$的图像与$x$轴有唯一一个公共点；
若$m ≠ 0$，则$( - 6 ) ^ { 2 } - 4 m = 0$，解得$m = 9$。
综上所述，当$m = 9$或$m = 0$时，该函数的图像与$x$轴有唯一一个公共点。
(3)$\because$函数$y = m x ^ { 2 } - 6 x + 1$的图像与$x$轴没有交点，
$\therefore m ≠ 0$，且$( - 6 ) ^ { 2 } - 4 m ＜ 0$，解得$m ＞ 9$。
$\therefore$当$m ＞ 9$时，该函数的图像与$x$轴没有交点。
2. （苏州工业园区期中）已知二次函数 $ y = 2x^{2}-3x + m - 2 $。
（1）若二次函数的图像与 $ x $ 轴有交点，求 $ m $ 的取值范围；
（2）当二次函数的图像经过点 $ (-1,6) $ 时，确定 $ m $ 的值，并求出此时二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。
（1）若二次函数的图像与 $ x $ 轴有交点，求 $ m $ 的取值范围；
（2）当二次函数的图像经过点 $ (-1,6) $ 时，确定 $ m $ 的值，并求出此时二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。
答案：
2. 解：
(1)根据题意，得$b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × ( m - 2 ) ≥ 0$，
解得$m ≤ \frac { 25 } { 8 }$，$\therefore m$的取值范围为$m ≤ \frac { 25 } { 8 }$。
(2)把$( - 1, 6 )$代入$y = 2 x ^ { 2 } - 3 x + m - 2$，得$2 + 3 + m - 2 = 6$，
解得$m = 3$，$\therefore$此时抛物线的函数表达式为$y = 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1$。
当$x = 0$时，$y = 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 1$，
$\therefore$抛物线与$y$轴的交点坐标为$( 0, 1 )$；
当$y = 0$时，$2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$，解得$x _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$，$x _ { 2 } = 1$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点坐标为$ ( \frac { 1 } { 2 }, 0 )$，$( 1, 0 )$。
(1)根据题意，得$b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 2 × ( m - 2 ) ≥ 0$，
解得$m ≤ \frac { 25 } { 8 }$，$\therefore m$的取值范围为$m ≤ \frac { 25 } { 8 }$。
(2)把$( - 1, 6 )$代入$y = 2 x ^ { 2 } - 3 x + m - 2$，得$2 + 3 + m - 2 = 6$，
解得$m = 3$，$\therefore$此时抛物线的函数表达式为$y = 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1$。
当$x = 0$时，$y = 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 1$，
$\therefore$抛物线与$y$轴的交点坐标为$( 0, 1 )$；
当$y = 0$时，$2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$，解得$x _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$，$x _ { 2 } = 1$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点坐标为$ ( \frac { 1 } { 2 }, 0 )$，$( 1, 0 )$。
3. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图像的对称轴是直线 $ x = 2 $，且图像过点 $ (1,2) $，与一次函数 $ y = x + m $ 的图像交于点 $ (0,-1) $。
求：（1）两个函数的表达式；
（2）两个函数图像的另一个交点的坐标。
求：（1）两个函数的表达式；
（2）两个函数图像的另一个交点的坐标。
答案：
3. 解：
(1)$\because$二次函数$y = a x ^ { 2 } + b x + c$的图像的对称轴是直线$x = 2$，且图像过点$( 1, 2 )$，$( 0, - 1 )$，
$\therefore \{ \begin{array} { l } { a + b + c = 2, } \\ { c = - 1, } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 2, } \end{array} $解得$\{ \begin{array} { l } { a = - 1, } \\ { b = 4, } \\ { c = - 1, } \end{array} $
$\therefore y = - x ^ { 2 } + 4 x - 1$。
$\because$一次函数$y = x + m$的图像过点$( 0, - 1 )$，
$\therefore m = - 1$，$\therefore y = x - 1$。
(2)由题意，令$- x ^ { 2 } + 4 x - 1 = x - 1$，
解得$x = 0$或$x = 3$。当$x = 3$时，$y = 2$，
$\therefore$两个函数图像的另一个交点的坐标为$( 3, 2 )$。
(1)$\because$二次函数$y = a x ^ { 2 } + b x + c$的图像的对称轴是直线$x = 2$，且图像过点$( 1, 2 )$，$( 0, - 1 )$，
$\therefore \{ \begin{array} { l } { a + b + c = 2, } \\ { c = - 1, } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 2, } \end{array} $解得$\{ \begin{array} { l } { a = - 1, } \\ { b = 4, } \\ { c = - 1, } \end{array} $
$\therefore y = - x ^ { 2 } + 4 x - 1$。
$\because$一次函数$y = x + m$的图像过点$( 0, - 1 )$，
$\therefore m = - 1$，$\therefore y = x - 1$。
(2)由题意，令$- x ^ { 2 } + 4 x - 1 = x - 1$，
解得$x = 0$或$x = 3$。当$x = 3$时，$y = 2$，
$\therefore$两个函数图像的另一个交点的坐标为$( 3, 2 )$。
4. （2024·崇川区期末）已知 $ y $ 关于 $ x $ 的二次函数 $ y = -x^{2}+2mx - m^{2}+1 $。
（1）判断该二次函数的图像与 $ x $ 轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该二次函数的图像经过点 $ (0,n) $ 和 $ (2,n) $，当 $ 0≤ x≤ 3 $ 时，求 $ y $ 的取值范围。
（1）判断该二次函数的图像与 $ x $ 轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该二次函数的图像经过点 $ (0,n) $ 和 $ (2,n) $，当 $ 0≤ x≤ 3 $ 时，求 $ y $ 的取值范围。
答案：
4. 解：
(1)该二次函数的图像与$x$轴的交点个数为$2$。
理由：令$- x ^ { 2 } + 2 m x - m ^ { 2 } + 1 = 0$，
$\because ( 2 m ) ^ { 2 } - 4 × ( - 1 ) × ( - m ^ { 2 } + 1 ) = 4 m ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } + 4 = 4 ＞ 0$，
$\therefore$一元二次方程$- x ^ { 2 } + 2 m x - m ^ { 2 } + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$该二次函数的图像与$x$轴的交点个数为$2$。
(2)$\because$该二次函数的图像经过点$( 0, n )$和$( 2, n )$，
$\therefore$该二次函数的图像的对称轴为直线$x = \frac { 0 + 2 } { 2 } = 1$，
$\therefore - \frac { 2 m } { 2 × ( - 1 ) } = 1$，解得$m = 1$，
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = - x ^ { 2 } + 2 x = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1$，
$\therefore$当$0 ≤ x ≤ 3$时，$y$的取值范围为$- 3 ≤ y ≤ 1$。
(1)该二次函数的图像与$x$轴的交点个数为$2$。
理由：令$- x ^ { 2 } + 2 m x - m ^ { 2 } + 1 = 0$，
$\because ( 2 m ) ^ { 2 } - 4 × ( - 1 ) × ( - m ^ { 2 } + 1 ) = 4 m ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } + 4 = 4 ＞ 0$，
$\therefore$一元二次方程$- x ^ { 2 } + 2 m x - m ^ { 2 } + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$该二次函数的图像与$x$轴的交点个数为$2$。
(2)$\because$该二次函数的图像经过点$( 0, n )$和$( 2, n )$，
$\therefore$该二次函数的图像的对称轴为直线$x = \frac { 0 + 2 } { 2 } = 1$，
$\therefore - \frac { 2 m } { 2 × ( - 1 ) } = 1$，解得$m = 1$，
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = - x ^ { 2 } + 2 x = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1$，
$\therefore$当$0 ≤ x ≤ 3$时，$y$的取值范围为$- 3 ≤ y ≤ 1$。
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