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1. 如图，直线$y = - \frac{3}{4}x + 3$分别交$x$轴，$y$轴于点$A$，$B$，$P$是抛物线$y =$
$- \frac{1}{2}x^{2} + 2x + 5$上的一个动点，其横坐标为$a$，过点$P$且平行于$y$轴
的直线交直线$y = - \frac{3}{4}x + 3$于点$Q$，则当$PQ = BQ$时，$a$的值是
$- \frac{1}{2}x^{2} + 2x + 5$上的一个动点，其横坐标为$a$，过点$P$且平行于$y$轴
的直线交直线$y = - \frac{3}{4}x + 3$于点$Q$，则当$PQ = BQ$时，$a$的值是
$4 + 2\sqrt{5}$或$4 - 2\sqrt{5}$或$4$或$-1$
.
答案：
1.$4 + 2\sqrt{5}$或$4 - 2\sqrt{5}$或$4$或$-1$ 点拨：当$x = 0$时，$y = - \frac{3}{4}x + 3 = 3$，则$B(0,3)$。
$\because$点$P$的横坐标为$a$，$PQ // y$轴，
$\therefore P(a, - \frac{1}{2}a^{2} + 2a + 5)$，$Q(a, - \frac{3}{4}a + 3)$，
$\therefore PQ = \left| - \frac{1}{2}a^{2} + 2a + 5 - ( - \frac{3}{4}a + 3) \right| =$
$\left| - \frac{1}{2}a^{2} + \frac{11}{4}a + 2 \right| = \left| \frac{1}{2}a^{2} - \frac{11}{4}a - 2 \right|$，
$BQ = \sqrt{a^{2} + ( - \frac{3}{4}a + 3 - 3)^{2}} = \left| \frac{5}{4}a \right|$。
$\because PQ = BQ$，$\therefore\left| \frac{1}{2}a^{2} - \frac{11}{4}a - 2 \right| = \left| \frac{5}{4}a \right|$，
当$\frac{1}{2}a^{2} - \frac{11}{4}a - 2 = \frac{5}{4}a$时，整理，得$a^{2} - 8a - 4 = 0$，解得
$a_{1} = 4 + 2\sqrt{5}$，$a_{2} = 4 - 2\sqrt{5}$；
当$\frac{1}{2}a^{2} - \frac{11}{4}a - 2 = - \frac{5}{4}a$时，整理，得$a^{2} - 3a - 4 = 0$，解
得$a_{1} = 4$，$a_{2} = - 1$。
综上所述，$a$的值为$4 + 2\sqrt{5}$或$4 - 2\sqrt{5}$或$4$或$-1$。
$\because$点$P$的横坐标为$a$，$PQ // y$轴，
$\therefore P(a, - \frac{1}{2}a^{2} + 2a + 5)$，$Q(a, - \frac{3}{4}a + 3)$，
$\therefore PQ = \left| - \frac{1}{2}a^{2} + 2a + 5 - ( - \frac{3}{4}a + 3) \right| =$
$\left| - \frac{1}{2}a^{2} + \frac{11}{4}a + 2 \right| = \left| \frac{1}{2}a^{2} - \frac{11}{4}a - 2 \right|$，
$BQ = \sqrt{a^{2} + ( - \frac{3}{4}a + 3 - 3)^{2}} = \left| \frac{5}{4}a \right|$。
$\because PQ = BQ$，$\therefore\left| \frac{1}{2}a^{2} - \frac{11}{4}a - 2 \right| = \left| \frac{5}{4}a \right|$，
当$\frac{1}{2}a^{2} - \frac{11}{4}a - 2 = \frac{5}{4}a$时，整理，得$a^{2} - 8a - 4 = 0$，解得
$a_{1} = 4 + 2\sqrt{5}$，$a_{2} = 4 - 2\sqrt{5}$；
当$\frac{1}{2}a^{2} - \frac{11}{4}a - 2 = - \frac{5}{4}a$时，整理，得$a^{2} - 3a - 4 = 0$，解
得$a_{1} = 4$，$a_{2} = - 1$。
综上所述，$a$的值为$4 + 2\sqrt{5}$或$4 - 2\sqrt{5}$或$4$或$-1$。
2. 如图，抛物线$y = x^{2} + bx + c$交$x$轴于点$A(-5,0)$和点$B$，交$y$轴于点$C(0,-5)$.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若$P$是直线$AC$上一动点，是否存在点$P$，使$\triangle ABP$为等腰三角形？若存在，直接
写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若$P$是直线$AC$上一动点，是否存在点$P$，使$\triangle ABP$为等腰三角形？若存在，直接
写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：
∴$c = -5$。将点$A(-5,0)$代入$y = x^{2}+bx - 5$，得$0 = 25 - 5b - 5$，解得$b = 4$，故抛物线的函数表达式为$y = x^{2}+4x - 5$。
(2)由点$A(-5,0)$，$C(0,-5)$易得直线$AC$的函数表达式为$y = -x - 5$。根据对称轴为直线$x = -\frac{4}{2} = -2$及$A(-5,0)$可知点$B$的坐标为$(1,0)$，设$P(t,-t - 5)$，
∴$AB^{2}=36$，$AP^{2}=2(t + 5)^{2}=2t^{2}+20t + 50$，$BP^{2}=(t - 1)^{2}+(t + 5)^{2}=2t^{2}+8t + 26$。
解：
(1)
∵抛物线$y = x^{2}+bx + c$交$y$轴于点$C(0,-5)$，
(1)
∵抛物线$y = x^{2}+bx + c$交$y$轴于点$C(0,-5)$，
∴$c = -5$。将点$A(-5,0)$代入$y = x^{2}+bx - 5$，得$0 = 25 - 5b - 5$，解得$b = 4$，故抛物线的函数表达式为$y = x^{2}+4x - 5$。
(2)由点$A(-5,0)$，$C(0,-5)$易得直线$AC$的函数表达式为$y = -x - 5$。根据对称轴为直线$x = -\frac{4}{2} = -2$及$A(-5,0)$可知点$B$的坐标为$(1,0)$，设$P(t,-t - 5)$，
∴$AB^{2}=36$，$AP^{2}=2(t + 5)^{2}=2t^{2}+20t + 50$，$BP^{2}=(t - 1)^{2}+(t + 5)^{2}=2t^{2}+8t + 26$。
①当$AB = AP$时，即$36 = 2t^{2}+20t + 50$，得$t^{2}+10t + 7 = 0$，解得$t = -5\pm3\sqrt{2}$，
故点$P$的坐标为$(-5 - 3\sqrt{2},3\sqrt{2})$或$(-5 + 3\sqrt{2},-3\sqrt{2})$。
②当$BA = BP$时，即$36 = 2t^{2}+8t + 26$，得$t^{2}+4t - 5 = 0$，解得$t = -5$（舍去）或$t = 1$，
故点$P$的坐标为$(1,-6)$。
③当$PA = PB$时，易知点$P$的横坐标为$-2$，代入$y = -x - 5$中，得$y = -3$，
则点$P$的坐标为$(-2,-3)$。
综上，点$P$的坐标为$(-5 - 3\sqrt{2},3\sqrt{2})$或$(-5 + 3\sqrt{2},-3\sqrt{2})$或$(1,-6)$或$(-2,-3)$。
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