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1. 如图，直线$y = x + 2$与抛物线$y = ax^{2} + bx + 6(a\neq0)$相交于点$A(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$和点$B(4,$ $m)$，$P$是线段$AB$上异于$A$，$B$的一动点，过点$P$作$PC\perp x$轴于点$D$，交抛物线于点$C$.当$\triangle PAC$为直角三角形时，点$P$的坐标为
(3,5)或($\frac{7}{2}$,$\frac{11}{2}$)
.
答案：
1.(3,5)或($\frac{7}{2}$,$\frac{11}{2}$) 点拨:
∵直线y=x+2过点B(4,m),
∴m=6,
∴B(4,6).
将A($\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$),B(4,6)代入y=ax²+bx+6,得$\begin{cases}16a + 4b + 6 = 6,\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 6 = \frac{5}{2}.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = - 8.\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为y=2x²−8x+6.
①若A为直角顶点，如答图①，设直线AC的函数表达式为y=−x+b,将A($\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$)代入，
得b=3,
∴直线AC的函数表达式为y=−x+3,联立$\begin{cases}y = - x + 3,\\y = 2x^{2} - 8x + 6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = \frac{1}{2},\\y = \frac{5}{2}\end{cases}$(舍去)，
∴C(3,0)，则点P的横坐标为3，
∴纵坐标为5，
∴P(3,5).
②若C为直角顶点，如答图②，
令2x²−8x+6=$\frac{5}{2}$，解得x=$\frac{7}{2}$或x=$\frac{1}{2}$(舍去)，则点P的横坐标为$\frac{7}{2}$，
∴纵坐标为$\frac{11}{2}$，
∴P($\frac{7}{2}$,$\frac{11}{2}$).
综上，点P的坐标为(3,5)或($\frac{7}{2}$,$\frac{11}{2}$).
1.(3,5)或($\frac{7}{2}$,$\frac{11}{2}$) 点拨:
∵直线y=x+2过点B(4,m),
∴m=6,
∴B(4,6).
将A($\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$),B(4,6)代入y=ax²+bx+6,得$\begin{cases}16a + 4b + 6 = 6,\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 6 = \frac{5}{2}.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = - 8.\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为y=2x²−8x+6.
①若A为直角顶点，如答图①，设直线AC的函数表达式为y=−x+b,将A($\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$)代入，
得b=3,
∴直线AC的函数表达式为y=−x+3,联立$\begin{cases}y = - x + 3,\\y = 2x^{2} - 8x + 6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = \frac{1}{2},\\y = \frac{5}{2}\end{cases}$(舍去)，
∴C(3,0)，则点P的横坐标为3，
∴纵坐标为5，
∴P(3,5).
②若C为直角顶点，如答图②，
令2x²−8x+6=$\frac{5}{2}$，解得x=$\frac{7}{2}$或x=$\frac{1}{2}$(舍去)，则点P的横坐标为$\frac{7}{2}$，
∴纵坐标为$\frac{11}{2}$，
∴P($\frac{7}{2}$,$\frac{11}{2}$).
综上，点P的坐标为(3,5)或($\frac{7}{2}$,$\frac{11}{2}$).
2. 如图，抛物线$y = -x^{2} - 6x - 5$与$x$轴交于$A$，$B$两点(点$A$在点$B$左侧)，与$y$轴交于点$C$，抛物线的对称轴与$x$轴交于点$D$，与经过点$B$的直线$y = x + 1$交于点$E$，点$P$在抛物线上，若$\triangle BPE$是以$BE$为直角边的直角三角形，则点$P$的坐标为
(−4,3)或(0,−5)或(−5,0)
.
答案：
2.(−4,3)或(0,−5)或(−5,0) 点拨:在y=−x²−6x−5中，令y=0，则−x²−6x−5=0，解得x₁=−1,x₂=−5，则A(−5,0),B(−1,0).
∵y=−x²−6x−5=−(x+3)²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=−3.
∵抛物线的对称轴与经过点B的直线y=x+1交于点E,
∴点E的坐标为(−3,−2)，则DE=BD=2,
∴∠ABE=∠BED=45°.
当∠EBP=90°时,则∠ABP=45°，过点P作PQ⊥OA于点Q,如答图,
则△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ=BQ，设点P的坐标为(t,−t²−6t−5),
∴−t²−6t−5=−t−1，解得t₁=−4,t₂=−1(舍去).当t=−4时,−t²−6t−5=3,
∴点P的坐标为(−4,3).由点B(−1,0),P(−4,3)，可得直线BP的函数表达式为y=−x−1.
将直线BP平移至经过点E，此时直线与抛物线的交点分别为P₁,P₂,
则∠BEP₁=∠BEP₂=90°，可设直线P₁P₂的函数表达式为y=−x+m,
将E(−3,−2)代入得−2=3+m，解得m=−5,
∴直线P₁P₂的函数表达式为y=−x−5,
令−x−5=−x²−6x−5，解得x=0或x=−5.
∴点P的坐标为(0,−5)或(−5,0).
综上所述,点P的坐标为(−4,3)或(0,−5)或(−5,0).
2.(−4,3)或(0,−5)或(−5,0) 点拨:在y=−x²−6x−5中，令y=0，则−x²−6x−5=0，解得x₁=−1,x₂=−5，则A(−5,0),B(−1,0).
∵y=−x²−6x−5=−(x+3)²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=−3.
∵抛物线的对称轴与经过点B的直线y=x+1交于点E,
∴点E的坐标为(−3,−2)，则DE=BD=2,
∴∠ABE=∠BED=45°.
当∠EBP=90°时,则∠ABP=45°，过点P作PQ⊥OA于点Q,如答图,
则△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ=BQ，设点P的坐标为(t,−t²−6t−5),
∴−t²−6t−5=−t−1，解得t₁=−4,t₂=−1(舍去).当t=−4时,−t²−6t−5=3,
∴点P的坐标为(−4,3).由点B(−1,0),P(−4,3)，可得直线BP的函数表达式为y=−x−1.
将直线BP平移至经过点E，此时直线与抛物线的交点分别为P₁,P₂,
则∠BEP₁=∠BEP₂=90°，可设直线P₁P₂的函数表达式为y=−x+m,
将E(−3,−2)代入得−2=3+m，解得m=−5,
∴直线P₁P₂的函数表达式为y=−x−5,
令−x−5=−x²−6x−5，解得x=0或x=−5.
∴点P的坐标为(0,−5)或(−5,0).
综上所述,点P的坐标为(−4,3)或(0,−5)或(−5,0).
3. 如图，抛物线$y = ax^{2} + bx + 5$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(5,0)$两点(点$A$在点$B$的左侧)，与$y$轴交于点$C$.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若$M$为抛物线对称轴上一动点，使得$\triangle MBC$为直角三角形，求点$M$的坐标.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若$M$为抛物线对称轴上一动点，使得$\triangle MBC$为直角三角形，求点$M$的坐标.
答案：
3.解:
(1)将A(−1,0),B(5,0)代入y=ax²+bx+5，得$\begin{cases}a - b + 5 = 0,\\25a + 5b + 5 = 0.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 1,\\b = 4.\end{cases}$则抛物线的函数表达式为y=−x²+4x+5.
(2)
∵y=−x²+4x+5=−(x−2)²+9,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,设M(2,t).
∵B(5,0),C(0,5),
∴BC²=5²+5²=50,MC²=2²+(t−5)²=t²−10t+29,MB²=(2−5)²+t²=t²+9,
当BC² + MC² = MB²时,△BCM为直角三角形,∠BCM = 90°,即50 + t²−10t+29 = t²+9,解得t = 7,此时点M的坐标为(2,7).
当BC² + MB² = MC²时,△BCM为直角三角形,∠CBM = 90°,即50 + t²+9 = t²−10t+29,解得t = - 3,此时点M的坐标为(2,−3).
当MC² + MB² = BC²时,△BCM为直角三角形,∠CMB = 90°,即t²−10t+29+t²+9 = 50,解得t₁ = 6,t₂ = -1,此时点M的坐标为(2,6)或(2,−1).
综上所述，满足条件的点M的坐标为(2,7)或(2,−3)或(2,6)或(2,−1).
(1)将A(−1,0),B(5,0)代入y=ax²+bx+5，得$\begin{cases}a - b + 5 = 0,\\25a + 5b + 5 = 0.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 1,\\b = 4.\end{cases}$则抛物线的函数表达式为y=−x²+4x+5.
(2)
∵y=−x²+4x+5=−(x−2)²+9,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,设M(2,t).
∵B(5,0),C(0,5),
∴BC²=5²+5²=50,MC²=2²+(t−5)²=t²−10t+29,MB²=(2−5)²+t²=t²+9,
当BC² + MC² = MB²时,△BCM为直角三角形,∠BCM = 90°,即50 + t²−10t+29 = t²+9,解得t = 7,此时点M的坐标为(2,7).
当BC² + MB² = MC²时,△BCM为直角三角形,∠CBM = 90°,即50 + t²+9 = t²−10t+29,解得t = - 3,此时点M的坐标为(2,−3).
当MC² + MB² = BC²时,△BCM为直角三角形,∠CMB = 90°,即t²−10t+29+t²+9 = 50,解得t₁ = 6,t₂ = -1,此时点M的坐标为(2,6)或(2,−1).
综上所述，满足条件的点M的坐标为(2,7)或(2,−3)或(2,6)或(2,−1).
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