《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版宿迁专版》

1. 已知二次函数$y=a(x - 1)^{2}-a(a\neq0)$，当$-1\leq x\leq4$时，$y$的最小值为$-4$，则$a$的值为 (B)

A.$\frac{1}{2}$或$4$
B.$-\frac{1}{2}$或$4$
C.$-\frac{4}{3}$或$4$
D.$-\frac{1}{2}$或$-\frac{4}{3}$

答案： 1.B 点拨:$y = a(x - 1)^2 - a(a\neq0)$的对称轴为直线$x = 1$，
顶点坐标为$(1, -a)$。
当$a ＜ 0$时，函数有最大值$-a$，$\therefore$在$-1\leq x\leq4$中，当$x =4$时，函数有最小值，$\therefore9a - a = -4$，解得$a = -\frac{1}{2}$。
当$a ＞ 0$时，函数有最小值$-a$，$\therefore$在$-1\leq x\leq4$中，当$x =1$时，函数有最小值，$\therefore -a = -4$，解得$a = 4$。
综上，$a$的值为$-\frac{1}{2}$或$4$。

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^{2}-2x + m$与$x$轴交于点A，B，与$y$轴交于点C，过点C作$CD// x$轴交抛物线于点D. 若$AB + CD = 6$，则抛物线的函数表达式为$y = x^2 - 2x - 3$.

答案： 2.$y = x^2 - 2x - 3$ 点拨:由题意，得抛物线的对称轴为直线
$x = 1$，$\therefore CD = 2$。
$\because AB + CD = 6$，$\therefore AB = 4$。设$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$，$\therefore AB =|x_1 - x_2| = 4$。
$\because x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = m$，$\therefore(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 -4x_1x_2 = 4 - 4m = 4^2$，解得$m = -3$，$\therefore$抛物线的函数表达
式为$y = x^2 - 2x - 3$。

3. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$在抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a＞0)$上，其中$x_1\neq x_2$，$4a + b = 0$.
(1)当$x_1 = 1$，$y_1 = y_2$时，求$x_2$的值；
(2)直线$y = kx + n$经过点$M$，$N$，若对于$t＜x_1＜t + 1$，$t + 2＜x_2＜t + 3$，都有$k＞0$，求$t$的取值范围.

答案： 3.解:
(1)$\because4a + b = 0$，$\therefore b = -4a$，$\therefore$抛物线的对称轴为直
线$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4a}{2a} = 2$。
$\because x_1 = 1$，$y_1 = y_2$，$\therefore$点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$关于直线
$x = 2$对称，$\therefore x_2$的值为$3$。
(2)$\because$直线$y = kx + n$经过点$M$，$N$，对于$t ＜ x_1 ＜ t + 1$，
$t + 2 ＜ x_2 ＜ t + 3$，都有$k ＞ 0$，
$\therefore y_1 ＜ y_2$，$\therefore\frac{x_1 + x_2}{2} ＞ 2$，$\therefore\frac{t + t + 2}{2} \geq 2$，解得$t \geq 1$。