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1. 如图，抛物线经过原点 $O$，顶点为 $A(1,1)$，且与直线 $y = x - 2$ 交于 $B,C$ 两点，若 $N$ 为 $x$ 轴上的一个动点，过点 $N$ 作 $MN \perp x$ 轴与抛物线交于点 $M$，若存在以 $O,M,N$ 为顶点的三角形与 $\triangle ABC$ 相似，则点 $N$ 的坐标为
($\frac{5}{3}$,0)或($\frac{7}{3}$,0)或(−1,0)或(5,0)
。
答案：
1. ($\frac{5}{3}$,0)或($\frac{7}{3}$,0)或(−1,0)或(5,0)
点拨:设抛物线的函数表达式为$y=a(x−1)^{2}+1$，$\because$抛物线经过原点，
$\therefore a(0−1)^{2}+1=0$，解得$a = - 1$，则抛物线的函数表达式为$y=-(x - 1)^{2}+1=-x^{2}+2x$，联立$\begin{cases}y = - x^{2}+2x\\y = x - 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=-1\\y_{1}=-3\end{cases}$或$\begin{cases}x_{2}=2\\y_{2}=0\end{cases}$，
$\therefore$点$B$的坐标为$(2,0)$，点$C$的坐标为$(-1,-3)$，
$\therefore AB=\sqrt{(2 - 1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$，
$\therefore AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，$\therefore\angle ABC = 90^{\circ}$.
设点$N$的坐标为$(n,0)$，则点$M$的坐标为$(n,-n^{2}+2n)$，
当$\triangle ONM\sim\triangle ABC$时，$\frac{ON}{AB}=\frac{MN}{BC}$，即$\frac{|n|}{\sqrt{2}}=\frac{|-n^{2}+2n|}{3\sqrt{2}}$，解得$n_{1}=-1$，$n_{2}=5$.
当$\triangle ONM\sim\triangle CBA$时，$\frac{ON}{BC}=\frac{MN}{AB}$，即$\frac{|n|}{3\sqrt{2}}=\frac{|-n^{2}+2n|}{\sqrt{2}}$，解得$n_{1}=\frac{5}{3}$，$n_{2}=\frac{7}{3}$.
综上所述，点$N$的坐标为$(\frac{5}{3},0)$或$(\frac{7}{3},0)$或$(-1,0)$或$(5,0)$.
点拨:设抛物线的函数表达式为$y=a(x−1)^{2}+1$，$\because$抛物线经过原点，
$\therefore a(0−1)^{2}+1=0$，解得$a = - 1$，则抛物线的函数表达式为$y=-(x - 1)^{2}+1=-x^{2}+2x$，联立$\begin{cases}y = - x^{2}+2x\\y = x - 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=-1\\y_{1}=-3\end{cases}$或$\begin{cases}x_{2}=2\\y_{2}=0\end{cases}$，
$\therefore$点$B$的坐标为$(2,0)$，点$C$的坐标为$(-1,-3)$，
$\therefore AB=\sqrt{(2 - 1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$，
$\therefore AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，$\therefore\angle ABC = 90^{\circ}$.
设点$N$的坐标为$(n,0)$，则点$M$的坐标为$(n,-n^{2}+2n)$，
当$\triangle ONM\sim\triangle ABC$时，$\frac{ON}{AB}=\frac{MN}{BC}$，即$\frac{|n|}{\sqrt{2}}=\frac{|-n^{2}+2n|}{3\sqrt{2}}$，解得$n_{1}=-1$，$n_{2}=5$.
当$\triangle ONM\sim\triangle CBA$时，$\frac{ON}{BC}=\frac{MN}{AB}$，即$\frac{|n|}{3\sqrt{2}}=\frac{|-n^{2}+2n|}{\sqrt{2}}$，解得$n_{1}=\frac{5}{3}$，$n_{2}=\frac{7}{3}$.
综上所述，点$N$的坐标为$(\frac{5}{3},0)$或$(\frac{7}{3},0)$或$(-1,0)$或$(5,0)$.
2. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0),B(3,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C(0,3)$。
(1) 如图①，求抛物线的函数表达式；
(2) 如图②，$D$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上一动点，连接 $AC,CD$，设直线 $BC$ 交线段 $AD$ 于点 $E$，当 $\frac{DE}{AE} = \frac{1}{2}$ 时，求点 $D$ 的坐标；
(3) 在(2)的条件下，若点 $D$ 的横坐标小于 $2$，$M$ 为 $x$ 轴上方抛物线上的一点，过点 $M$ 作 $MN \perp x$ 轴于点 $N$，是否存在点 $M$，使以 $A,M,N$ 为顶点的三角形与 $\triangle BCD$ 相似？若存在，直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
(1) 如图①，求抛物线的函数表达式；
(2) 如图②，$D$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上一动点，连接 $AC,CD$，设直线 $BC$ 交线段 $AD$ 于点 $E$，当 $\frac{DE}{AE} = \frac{1}{2}$ 时，求点 $D$ 的坐标；
(3) 在(2)的条件下，若点 $D$ 的横坐标小于 $2$，$M$ 为 $x$ 轴上方抛物线上的一点，过点 $M$ 作 $MN \perp x$ 轴于点 $N$，是否存在点 $M$，使以 $A,M,N$ 为顶点的三角形与 $\triangle BCD$ 相似？若存在，直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：
2. 解:
(1)由题意，得$y=a(x + 1)(x - 3)=a(x^{2}-2x - 3)$，则$-3a = 3$，
解得$a = - 1$，则抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$.
(2)如答图，分别过点$D$，$A$作$y$轴的平行线交直线$BC$于点$H$，$P$，
则$\triangle AEP\sim\triangle DEH$，$DE:AE = DH:AP = 1:2$.
由点$B$，$C$的坐标，得直线$BC$的函数表达式为$y=-x + 3$，则点$P(-1,4)$，即$AP = 4$，则$DH = 2$.
设点$D(x,-x^{2}+2x + 3)$，则点$H(x,-x + 3)$，
则$DH = 2=-x^{2}+2x + 3-(-x + 3)$，解得$x = 1$或$x = 2$，即点$D$的坐标为$(1,4)$或$(2,3)$.
(3)存在.由题意，得点$D(1,4)$，
由点$B$，$C$，$D$的坐标，得$BC = 3\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{2}$，$BD = 2\sqrt{5}$，则$BD^{2}=CD^{2}+BC^{2}$，
即$\triangle BCD$为直角三角形，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$\tan\angle CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$.
当以$A$，$M$，$N$为顶点的三角形与$\triangle BCD$相似时，
$\tan\angle MAN=\frac{1}{3}$或$\tan\angle MAN = 3$，
设点$M(x,-x^{2}+2x + 3)$，
则$\tan\angle MAN=\frac{MN}{AN}=\frac{y_{M}}{x_{M}-x_{A}}=\frac{-x^{2}+2x + 3}{x + 1}=\frac{1}{3}$或$\tan\angle MAN=\frac{MN}{AN}=\frac{y_{M}}{x_{M}-x_{A}}=\frac{-x^{2}+2x + 3}{x + 1}=3$，解得$x = 0$或$x=\frac{8}{3}$（不合题意的值已舍去）.
经检验，上述$x$的值是方程的解，
即点$M$的坐标为$(0,3)$或$(\frac{8}{3},\frac{11}{9})$.
2. 解:
(1)由题意，得$y=a(x + 1)(x - 3)=a(x^{2}-2x - 3)$，则$-3a = 3$，
解得$a = - 1$，则抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$.
(2)如答图，分别过点$D$，$A$作$y$轴的平行线交直线$BC$于点$H$，$P$，
则$\triangle AEP\sim\triangle DEH$，$DE:AE = DH:AP = 1:2$.
由点$B$，$C$的坐标，得直线$BC$的函数表达式为$y=-x + 3$，则点$P(-1,4)$，即$AP = 4$，则$DH = 2$.
设点$D(x,-x^{2}+2x + 3)$，则点$H(x,-x + 3)$，
则$DH = 2=-x^{2}+2x + 3-(-x + 3)$，解得$x = 1$或$x = 2$，即点$D$的坐标为$(1,4)$或$(2,3)$.
(3)存在.由题意，得点$D(1,4)$，
由点$B$，$C$，$D$的坐标，得$BC = 3\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{2}$，$BD = 2\sqrt{5}$，则$BD^{2}=CD^{2}+BC^{2}$，
即$\triangle BCD$为直角三角形，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$\tan\angle CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$.
当以$A$，$M$，$N$为顶点的三角形与$\triangle BCD$相似时，
$\tan\angle MAN=\frac{1}{3}$或$\tan\angle MAN = 3$，
设点$M(x,-x^{2}+2x + 3)$，
则$\tan\angle MAN=\frac{MN}{AN}=\frac{y_{M}}{x_{M}-x_{A}}=\frac{-x^{2}+2x + 3}{x + 1}=\frac{1}{3}$或$\tan\angle MAN=\frac{MN}{AN}=\frac{y_{M}}{x_{M}-x_{A}}=\frac{-x^{2}+2x + 3}{x + 1}=3$，解得$x = 0$或$x=\frac{8}{3}$（不合题意的值已舍去）.
经检验，上述$x$的值是方程的解，
即点$M$的坐标为$(0,3)$或$(\frac{8}{3},\frac{11}{9})$.
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