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1. 已知抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$, $B(3,0)$.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 如图, 抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$, $P$ 为线段 $OC$ 上一点 (不与端点重合), 直线 $PA$, $PB$ 分别交抛物线于点 $E$, $D$, 连接 $AD$, $BE$, 设 $\triangle PAD$ 的面积为 $S_1$, $\triangle PBE$ 的面积为 $S_2$, 求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 如图, 抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$, $P$ 为线段 $OC$ 上一点 (不与端点重合), 直线 $PA$, $PB$ 分别交抛物线于点 $E$, $D$, 连接 $AD$, $BE$, 设 $\triangle PAD$ 的面积为 $S_1$, $\triangle PBE$ 的面积为 $S_2$, 求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值.
答案：
(2)设$P(0,p)$，直线$AP$的函数表达式为$y = k_{1}x + b_{1}$，把点$A(-1,0)$，$P(0,p)$代入，得
解：
(1)把$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得
(1)把$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得
$\begin{cases}-1 - b + c = 0,\\-9 + 3b + c = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 2,\\c = 3,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+2x+3$。
(2)设$P(0,p)$，直线$AP$的函数表达式为$y = k_{1}x + b_{1}$，把点$A(-1,0)$，$P(0,p)$代入，得
$\begin{cases}-k_{1}+b_{1}=0,\\b_{1}=p,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_{1}=p,\\b_{1}=p,\end{cases}$
$\therefore$直线$AP$的函数表达式为$y = px + p$。
联立$\begin{cases}y = px + p,\\y=-x^{2}+2x+3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-1,\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = 3 - p,\\y=-p^{2}+4p,\end{cases}$
$\therefore E(3 - p,-p^{2}+4p)$，
同理可得$D(\frac{p - 3}{3},-\frac{p^{2}}{9}+\frac{4p}{3})$，
$\therefore S_{1}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB·(y_{D}-y_{P}) = 2(-\frac{p^{2}}{9}+\frac{4p}{3}-p)=\frac{2}{9}(3p - p^{2})$，
$S_{2}=S_{\triangle ABE}-S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB·(y_{E}-y_{P}) = 2(-p^{2}+4p - p)=2(3p - p^{2})$，
$\therefore\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{2}{9}(3p - p^{2})}{2(3p - p^{2})}=\frac{1}{9}$，
$\therefore\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值为$\frac{1}{9}$。
2. 如图, 抛物线 $y = ax^2 + bx + 3(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-3,0)$ 和 $B(1,0)$, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 连接 $AC$ 和 $BC$, 点 $P$ 在抛物线上运动, 连接 $AP$, $BP$ 和 $CP$.
(1) 求抛物线的函数表达式, 并写出其顶点坐标；
(2) 点 $P$ 在抛物线上从点 $A$ 运动到点 $C$ 的过程中 (点 $P$ 与点 $A$, $C$ 不重合), 作点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P_1$, 连接 $AP_1$, $CP_1$, 记 $\triangle ACP_1$ 的面积为 $S_1$, 记 $\triangle BCP$ 的面积为 $S_2$, 若满足 $S_1 = 3S_2$, 求 $\triangle ABP$ 的面积.
(1) 求抛物线的函数表达式, 并写出其顶点坐标；
(2) 点 $P$ 在抛物线上从点 $A$ 运动到点 $C$ 的过程中 (点 $P$ 与点 $A$, $C$ 不重合), 作点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P_1$, 连接 $AP_1$, $CP_1$, 记 $\triangle ACP_1$ 的面积为 $S_1$, 记 $\triangle BCP$ 的面积为 $S_2$, 若满足 $S_1 = 3S_2$, 求 $\triangle ABP$ 的面积.
答案：
2.解:
(1)由题意，得$y = a(x + 3)(x - 1) = a(x^{2} + 2x - 3) = ax^{2} + 2ax - 3a = ax^{2} + bx + 3$，则$- 3a = 3$，解得$a = - 1$，则抛物线的函数表达式为$y = - x^{2} - 2x + 3$。
∵$y = - x^{2} - 2x + 3 = - (x + 1)^{2} + 4$，
∴顶点坐标为$( - 1,4)$。
(2)如答图，连接$PP_{1}$交$AC$于点$E$，由抛物线的函数表达式，知点$C(0,3)$，设$P(m, - m^{2} - 2m + 3)$，则$P_{1}(m,m^{2} + 2m - 3)$。由点$A$、$C$的坐标，得直线$AC$的函数表达式为$y = x + 3$，则$E(m,m + 3)$。
同理可得直线$PB$的函数表达式为$y = ( - m - 3)x + m + 3$。
设直线$PB$交$y$轴于点$D$，则$D(0,m + 3)$。
∴$S_{1} = \frac{1}{2}P_{1}E · OA = \frac{1}{2} × (m + 3 - m^{2} - 2m + 3) × 3 = \frac{3}{2}( - m^{2} - m + 6)$。
$S_{2} = \frac{1}{2}CD · (x_{B} - x_{P}) = \frac{1}{2} × (3 - m - 3) × (1 - m) = \frac{1}{3}S_{1} = \frac{1}{3} × \frac{3}{2}( - m^{2} - m + 6)$，解得$m = \sqrt{3}$(舍去)或$m = - \sqrt{3}$。
∴点$P$的坐标为$( - \sqrt{3},2\sqrt{3})$。
则$\triangle ABP$的面积为$\frac{1}{2}AB · y_{P} = \frac{1}{2} × (1 + 3) × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
2.解:
(1)由题意，得$y = a(x + 3)(x - 1) = a(x^{2} + 2x - 3) = ax^{2} + 2ax - 3a = ax^{2} + bx + 3$，则$- 3a = 3$，解得$a = - 1$，则抛物线的函数表达式为$y = - x^{2} - 2x + 3$。
∵$y = - x^{2} - 2x + 3 = - (x + 1)^{2} + 4$，
∴顶点坐标为$( - 1,4)$。
(2)如答图，连接$PP_{1}$交$AC$于点$E$，由抛物线的函数表达式，知点$C(0,3)$，设$P(m, - m^{2} - 2m + 3)$，则$P_{1}(m,m^{2} + 2m - 3)$。由点$A$、$C$的坐标，得直线$AC$的函数表达式为$y = x + 3$，则$E(m,m + 3)$。
同理可得直线$PB$的函数表达式为$y = ( - m - 3)x + m + 3$。
设直线$PB$交$y$轴于点$D$，则$D(0,m + 3)$。
∴$S_{1} = \frac{1}{2}P_{1}E · OA = \frac{1}{2} × (m + 3 - m^{2} - 2m + 3) × 3 = \frac{3}{2}( - m^{2} - m + 6)$。
$S_{2} = \frac{1}{2}CD · (x_{B} - x_{P}) = \frac{1}{2} × (3 - m - 3) × (1 - m) = \frac{1}{3}S_{1} = \frac{1}{3} × \frac{3}{2}( - m^{2} - m + 6)$，解得$m = \sqrt{3}$(舍去)或$m = - \sqrt{3}$。
∴点$P$的坐标为$( - \sqrt{3},2\sqrt{3})$。
则$\triangle ABP$的面积为$\frac{1}{2}AB · y_{P} = \frac{1}{2} × (1 + 3) × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
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