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1. 函数 $y_1 = x^2 + 2x - 3$ 的图像与函数 $y_2 = -x + b$ 的图像交于 $A, B$ 两点，若 $AB = 5\sqrt{2}$，则当 $y_1 ＞ y_2$ 时，自变量 $x$ 的取值范围是
$x ＜ -4$或$x ＞ 1$
。
答案：
1.$x ＜ -4$或$x ＞ 1$ 点拨：设点$A,B$的横坐标分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1$，$x_2$为方程$x^2 + 2x - 3 = -x + b$的解，$\therefore x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = -3 - b$。$\because AB = 5\sqrt{2}$，$\therefore x_1 - x_2 = 5$②，
解①②，得$x_1 = 1$，$x_2 = -4$，$\therefore$当$y_1 ＞ y_2$时，自变量$x$的取值范围是$x ＜ -4$或$x ＞ 1$。
解①②，得$x_1 = 1$，$x_2 = -4$，$\therefore$当$y_1 ＞ y_2$时，自变量$x$的取值范围是$x ＜ -4$或$x ＞ 1$。
2. 已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的最小值为 $0$，不等式 $x^2 + bx + c ＜ m$ 的解集为 $n ＜ x ＜n + 6$，则实数 $m$ 的值为
9
。
答案：
2.9 点拨：$\because 1 ＞ 0$，$\therefore$二次函数的图像开口向上. $\because$二次函数$y = x^2 + bx + c$的最小值为$0$，$\therefore \frac{4 × 1 · c - b^2}{4 × 1} = 0$，$\therefore c = \frac{b^2}{4}$。$\because$不等式$x^2 + bx + c ＜ m$的解集为$n ＜ x ＜ n + 6$，$\therefore$直线$y = m$与抛物线$y = x^2 + bx + c$的两个交点的横坐标分别为$n$，$n + 6$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = \frac{n + n + 6}{2} = n + 3$，$\therefore - \frac{b}{2} = n + 3$，$\therefore b = -2n - 6$，$\therefore m = n^2 + n(-2n - 6) + \frac{(-2n - 6)^2}{4} = n^2 - 2n^2 - 6n + \frac{4n^2 + 24n + 36}{4} = n^2 - 2n^2 - 6n + n^2 + 6n + 9 = 9$。
3. 设二次函数 $y = x^2 + bx + c$（$b, c$ 是常数）的图像与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点.
(1) 若 $A, B$ 两点的坐标分别为 $(1, 0), (3, 0)$，求二次函数的表达式及其图像的对称轴；
(2) 在 (1) 的条件下，若二次函数的图像上有 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ 两点，且 $\frac{1}{2} ＜ x_1 ＜ \frac{3}{2}$，$2 ＜ x_2 ＜ \frac{5}{2}$. 求证：$y_1 - y_2 ＞ 0$；
(3) 若二次函数的表达式可以写成 $y = (x - m)(x - m - 1)$ 的形式，且 $0 ＜ m ＜ 2$，求 $b + c$的取值范围.
(1) 若 $A, B$ 两点的坐标分别为 $(1, 0), (3, 0)$，求二次函数的表达式及其图像的对称轴；
(2) 在 (1) 的条件下，若二次函数的图像上有 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ 两点，且 $\frac{1}{2} ＜ x_1 ＜ \frac{3}{2}$，$2 ＜ x_2 ＜ \frac{5}{2}$. 求证：$y_1 - y_2 ＞ 0$；
(3) 若二次函数的表达式可以写成 $y = (x - m)(x - m - 1)$ 的形式，且 $0 ＜ m ＜ 2$，求 $b + c$的取值范围.
答案：
3.
(1)解：$\because$二次函数$y = x^2 + bx + c$($b$，$c$是常数)的图像经过点$(1,0)$，$(3,0)$，
$\therefore \begin{cases}1 + b + c = 0, \\9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -4, \\c = 3,\end{cases}$$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 3$，
$\therefore$图像的对称轴是直线$x = -\frac{-4}{2} = 2$。
(2)证明：在
(1)的条件下，二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 3$，
$\therefore y_1 - y_2 = x_1^2 - 4x_1 + 3 - (x_2^2 - 4x_2 + 3) = x_1^2 - x_2^2 -4(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$。$\because \frac{1}{2} ＜ x_1 ＜ \frac{3}{2}$，$2 ＜x_2 ＜ \frac{5}{2}$，$\therefore \frac{3}{2} ＜ x_1 + x_2 - 4 ＜ 0$，$-2 ＜ x_1 - x_2 ＜ -\frac{1}{2} ＜0$，$\therefore (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4) ＞ 0$，即$y_1 - y_2 ＞ 0$。
(3)解：$y = (x - m)(x - m - 1) = x^2 - (2m + 1)x + (m^2 + m)$。
$\because b + c = -(2m + 1) + (m^2 + m) = m^2 + m - 2m - 1 = m^2 - m - 1 = (m - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$，
$\therefore$当$m = 0$时，$b + c = m^2 - m - 1 = -1$，
当$m = 2$时，$b + c = m^2 - m - 1 = 1$，
当$m = \frac{1}{2}$时，$b + c = -\frac{5}{4}$，
$\therefore b + c$的取值范围为$-\frac{5}{4} \leq b + c ＜ 1$。
(1)解：$\because$二次函数$y = x^2 + bx + c$($b$，$c$是常数)的图像经过点$(1,0)$，$(3,0)$，
$\therefore \begin{cases}1 + b + c = 0, \\9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -4, \\c = 3,\end{cases}$$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 3$，
$\therefore$图像的对称轴是直线$x = -\frac{-4}{2} = 2$。
(2)证明：在
(1)的条件下，二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 3$，
$\therefore y_1 - y_2 = x_1^2 - 4x_1 + 3 - (x_2^2 - 4x_2 + 3) = x_1^2 - x_2^2 -4(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$。$\because \frac{1}{2} ＜ x_1 ＜ \frac{3}{2}$，$2 ＜x_2 ＜ \frac{5}{2}$，$\therefore \frac{3}{2} ＜ x_1 + x_2 - 4 ＜ 0$，$-2 ＜ x_1 - x_2 ＜ -\frac{1}{2} ＜0$，$\therefore (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4) ＞ 0$，即$y_1 - y_2 ＞ 0$。
(3)解：$y = (x - m)(x - m - 1) = x^2 - (2m + 1)x + (m^2 + m)$。
$\because b + c = -(2m + 1) + (m^2 + m) = m^2 + m - 2m - 1 = m^2 - m - 1 = (m - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$，
$\therefore$当$m = 0$时，$b + c = m^2 - m - 1 = -1$，
当$m = 2$时，$b + c = m^2 - m - 1 = 1$，
当$m = \frac{1}{2}$时，$b + c = -\frac{5}{4}$，
$\therefore b + c$的取值范围为$-\frac{5}{4} \leq b + c ＜ 1$。
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