搜索
1. 如图是函数$y = \frac{1}{2}x^{2} - 2|x| + \frac{3}{2}$的图像,若关于$x$的方程$x^{2} - 4|x| +$
$k + 3 = 0$有两个实数根,则$k$的取值范围是
$k + 3 = 0$有两个实数根,则$k$的取值范围是
$k ＜ -3$
.
答案：
1.$k ＜ -3$ 点拨：由图像可知，当直线$y = - \frac{k}{2}$与函数$y = \frac{1}{2}x^{2} - 2|x| + \frac{3}{2}$的图像有两个交点时，$- \frac{k}{2} ＞ \frac{3}{2}$，解得$k ＜ -3$，$\therefore$当关于$x$的方程$x^{2} - 4|x| + k + 3 = 0$有两个实数根时，$k$的取值范围是$k ＜ -3$。
2.在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y = ax^{2} + 4x$的顶点为$P(m$,
$n)$.
(1)若该抛物线与$x$轴交于点$(4,0)$,则$n =$
(2)已知点$A(3, - 2)$,$B( - 3,2)$,若该抛物线与线段$AB$始终有两个不同的交点,则$n$的取值范围是
$n)$.
(1)若该抛物线与$x$轴交于点$(4,0)$,则$n =$
$4$
;(2)已知点$A(3, - 2)$,$B( - 3,2)$,若该抛物线与线段$AB$始终有两个不同的交点,则$n$的取值范围是
$0 ＜ n \leqslant \frac{18}{7}$或$- \frac{18}{7} \leqslant n ＜ 0$
.
答案：
2.
(1)$4$点拨：$\because$抛物线与$x$轴交于点$(4,0)$，$\therefore 16a + 16 = 0$，$\therefore a = -1$，$\therefore y = -x^{2} + 4x$。
$\because y = -x^{2} + 4x = - (x - 2)^{2} + 4$，$\therefore$抛物线$y = ax^{2} + 4x$的顶点坐标为$(2,4)$，$\therefore n = 4$。
(2)$0 ＜ n \leqslant \frac{18}{7}$或$- \frac{18}{7} \leqslant n ＜ 0$点拨：$\because$点$A(3, -2)$，
$B( - 3,2)$，$\therefore$点$A$，$B$关于原点对称，
$\therefore$线段$AB$经过原点。$\because$抛物线$y = ax^{2} + 4x$始终经过原点，且与$x$轴始终有两个交点，$\therefore$当$a ＞ 0$时，对称轴在$y$轴左侧，$x = -3$对应的函数值$y \geqslant 2$，$\therefore 9a - 12 \geqslant 2$，解得$a \geqslant \frac{14}{9}$。又$\because n = \frac{-4}{a}$，
$\therefore - \frac{18}{7} \leqslant n ＜ 0$。
当$a ＜ 0$时，对称轴在$y$轴右侧，$x = 3$对应的函数值$y \leqslant -2$，$\therefore 9a + 12 \leqslant -2$，解得$a \leqslant - \frac{14}{9}$。
又$\because n = \frac{-4}{a}$，$\therefore 0 ＜ n \leqslant \frac{18}{7}$。
综上，$n$的取值范围为$0 ＜ n \leqslant \frac{18}{7}$或$- \frac{18}{7} \leqslant n ＜ 0$。
(1)$4$点拨：$\because$抛物线与$x$轴交于点$(4,0)$，$\therefore 16a + 16 = 0$，$\therefore a = -1$，$\therefore y = -x^{2} + 4x$。
$\because y = -x^{2} + 4x = - (x - 2)^{2} + 4$，$\therefore$抛物线$y = ax^{2} + 4x$的顶点坐标为$(2,4)$，$\therefore n = 4$。
(2)$0 ＜ n \leqslant \frac{18}{7}$或$- \frac{18}{7} \leqslant n ＜ 0$点拨：$\because$点$A(3, -2)$，
$B( - 3,2)$，$\therefore$点$A$，$B$关于原点对称，
$\therefore$线段$AB$经过原点。$\because$抛物线$y = ax^{2} + 4x$始终经过原点，且与$x$轴始终有两个交点，$\therefore$当$a ＞ 0$时，对称轴在$y$轴左侧，$x = -3$对应的函数值$y \geqslant 2$，$\therefore 9a - 12 \geqslant 2$，解得$a \geqslant \frac{14}{9}$。又$\because n = \frac{-4}{a}$，
$\therefore - \frac{18}{7} \leqslant n ＜ 0$。
当$a ＜ 0$时，对称轴在$y$轴右侧，$x = 3$对应的函数值$y \leqslant -2$，$\therefore 9a + 12 \leqslant -2$，解得$a \leqslant - \frac{14}{9}$。
又$\because n = \frac{-4}{a}$，$\therefore 0 ＜ n \leqslant \frac{18}{7}$。
综上，$n$的取值范围为$0 ＜ n \leqslant \frac{18}{7}$或$- \frac{18}{7} \leqslant n ＜ 0$。
3. 记二次函数$y = a(x - b)^{2} + c$和$y = - a(x - m)^{2} + n(a \neq 0)$的图像分别为抛物线$G$和$G_{1}$.给出如下定义:若抛物线$G_{1}$的顶点$Q(m,n)$在抛物线$G$上,则称$G_{1}$是$G$的伴随抛物线.
(1)若抛物线$Q:y = - 2(x - s)^{2} + 2$和抛物线$Q_{2}:y = - 2(x - 3)^{2} + t$都是抛物线$y =$ $2x^{2}$的伴随抛物线,则$s =$
(2)设函数$y = x^{2} - 2kx + 2k + 3$的图像为抛物线$G_{2}$.若函数$y = - x^{2} + px + q$的图像为抛物线$G_{3}$,且$G_{2}$始终是$G_{3}$的伴随抛物线.
①求$p,q$的值;
②若抛物线$G_{2}$与$x$轴有两个不同的交点$(x_{1},0)$,$(x_{2},0)(x_{1} ＜ x_{2})$,请直接写出$x_{1}$的取值范围.
(1)若抛物线$Q:y = - 2(x - s)^{2} + 2$和抛物线$Q_{2}:y = - 2(x - 3)^{2} + t$都是抛物线$y =$ $2x^{2}$的伴随抛物线,则$s =$
$\pm 1$
,$t =$$18$
.(2)设函数$y = x^{2} - 2kx + 2k + 3$的图像为抛物线$G_{2}$.若函数$y = - x^{2} + px + q$的图像为抛物线$G_{3}$,且$G_{2}$始终是$G_{3}$的伴随抛物线.
①求$p,q$的值;
②若抛物线$G_{2}$与$x$轴有两个不同的交点$(x_{1},0)$,$(x_{2},0)(x_{1} ＜ x_{2})$,请直接写出$x_{1}$的取值范围.
答案：
3.
(1)$\pm 1$ $18$点拨：抛物线$Q:y = -2(x - s)^{2} + 2$和抛物
线$Q:y = -2(x - 3)^{2} + t$都是抛物线$y = 2x^{2}$的伴随抛物线，
$\therefore$点$(s,2)$，$(3,t)$在$y = 2x^{2}$上，$\therefore 2s^{2} = 2$，$t = 2 × 3^{2}$，解得
$s = \pm 1$，$t = 18$。
(2)解：①$y = x^{2} - 2kx + 2k + 3 = x^{2} - 2kx + k^{2} - k^{2} + 2k + 3 = (x - k)^{2} - k^{2} + 2k + 3$，
$\therefore$抛物线$G_{2}$的顶点坐标为$(k, -k^{2} + 2k + 3)$。
$\because G_{2}$始终是$G_{3}$的伴随抛物线，$\therefore -k^{2} + 2k + 3 = -k^{2} + pk + q$，整理，得$2k + 3 = pk + q$，
解得$p = 2$，$q = 3$。
②$\because y = x^{2} - 2kx + 2k + 3 = x^{2} + 2k(1 - x) + 3$，当$x = 1$
时，$y = 4$，即抛物线$G_{2}$过定点$(1,4)$。
$\because$抛物线$G_{2}$与$x$轴有两个不同的交点$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$
$(x_{1} ＜ x_{2})$，
由①，得抛物线$G_{2}$的顶点坐标$(k, -k^{2} + 2k + 3)$在$y = -x^{2} + 2x + 3 = - (x - 1)^{2} + 4$的图像上滑动，当$-x^{2} +2x + 3 = 0$时，解得$x = -1$或$x = 3$，$\therefore$抛物线$G_{3}$与$x$轴
交于点$( - 1,0)$，$(3,0)$，当抛物线$G_{2}$的顶点在点$( - 1,0)$
下方时，抛物线$G_{2}$与$x$轴有两个交点，则$x_{1} ＜ -1$，
当抛物线$G_{2}$的顶点在$(3,0)$下方时，抛物线$G_{2}$与$x$轴有
两个交点，则$1 ＜ x_{1} ＜ 3$。综上所述，$x_{1}$的取值范围为$x_{1} ＜ -1$或$1 ＜ x_{1} ＜ 3$。
(1)$\pm 1$ $18$点拨：抛物线$Q:y = -2(x - s)^{2} + 2$和抛物
线$Q:y = -2(x - 3)^{2} + t$都是抛物线$y = 2x^{2}$的伴随抛物线，
$\therefore$点$(s,2)$，$(3,t)$在$y = 2x^{2}$上，$\therefore 2s^{2} = 2$，$t = 2 × 3^{2}$，解得
$s = \pm 1$，$t = 18$。
(2)解：①$y = x^{2} - 2kx + 2k + 3 = x^{2} - 2kx + k^{2} - k^{2} + 2k + 3 = (x - k)^{2} - k^{2} + 2k + 3$，
$\therefore$抛物线$G_{2}$的顶点坐标为$(k, -k^{2} + 2k + 3)$。
$\because G_{2}$始终是$G_{3}$的伴随抛物线，$\therefore -k^{2} + 2k + 3 = -k^{2} + pk + q$，整理，得$2k + 3 = pk + q$，
解得$p = 2$，$q = 3$。
②$\because y = x^{2} - 2kx + 2k + 3 = x^{2} + 2k(1 - x) + 3$，当$x = 1$
时，$y = 4$，即抛物线$G_{2}$过定点$(1,4)$。
$\because$抛物线$G_{2}$与$x$轴有两个不同的交点$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$
$(x_{1} ＜ x_{2})$，
由①，得抛物线$G_{2}$的顶点坐标$(k, -k^{2} + 2k + 3)$在$y = -x^{2} + 2x + 3 = - (x - 1)^{2} + 4$的图像上滑动，当$-x^{2} +2x + 3 = 0$时，解得$x = -1$或$x = 3$，$\therefore$抛物线$G_{3}$与$x$轴
交于点$( - 1,0)$，$(3,0)$，当抛物线$G_{2}$的顶点在点$( - 1,0)$
下方时，抛物线$G_{2}$与$x$轴有两个交点，则$x_{1} ＜ -1$，
当抛物线$G_{2}$的顶点在$(3,0)$下方时，抛物线$G_{2}$与$x$轴有
两个交点，则$1 ＜ x_{1} ＜ 3$。综上所述，$x_{1}$的取值范围为$x_{1} ＜ -1$或$1 ＜ x_{1} ＜ 3$。
查看更多完整答案，请扫码查看
