《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

18. (12分)[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式。
例如：$\sqrt{2}×\sqrt{2} = 2$,$(\sqrt{3} + 1)×(\sqrt{3} - 1) = 2$,我们称$\sqrt{2}和\sqrt{2}$互为有理化因式,$\sqrt{3} + 1和\sqrt{3} - 1$互为有理化因式。
(1)$\sqrt{5}$的有理化因式是______(写出一个即可),$2 - \sqrt{3}$的有理化因式是______(写出一个即可)。
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式,通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,使分母中不含根号,这种变形叫作分母有理化。
(2)利用分母有理化化简：$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + … + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$。
[材料三]与分母有理化类似,将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式,从而消去分子中的根式,这种变形叫作分子有理化。
比如：$\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$。
(3)试利用分子有理化比较$\sqrt{8} - \sqrt{7}和\sqrt{7} - \sqrt{6}$的大小。

答案：
(1)$\sqrt{5}$ $2+\sqrt{3}$(答案不唯一)
(2)$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\cdots-\sqrt{2024}+\sqrt{2025}=44$。
(3)$\sqrt{7}-\sqrt{6}＞\sqrt{8}-\sqrt{7}$。理由如下:$\sqrt{8}-\sqrt{7}=\frac{(\sqrt{8}-\sqrt{7})(\sqrt{8}+\sqrt{7})}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}$,$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$,因为$\sqrt{7}+\sqrt{6}＜\sqrt{8}+\sqrt{7}$,所以$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}＞\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}$,所以$\sqrt{7}-\sqrt{6}＞\sqrt{8}-\sqrt{7}$。