《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

15. (8分)已知某正数的两个平方根分别是$a - 3和2a + 15$,$b的立方根是- 2$。求$- 2a - b$的算术平方根。

答案： 解:因为某正数的两个平方根分别是$a-3$和$2a+15$,所以$a-3+2a+15=0$,解得$a=-4$,因为$b$的立方根是$-2$,所以$b=-8$,$-2a-b=-2×(-4)-(-8)=16$,$\sqrt{16}=4$,所以$-2a-b$的算术平方根为4。

16. (8分)秦九韶(1208年~1268年),字道古,南宋著名数学家,与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学,于1247年完成的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦 - 秦九韶公式”,它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是$a,b,c$,记$p = \frac{a + b + c}{2}$,$S$为三角形的面积,那么$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$。
(1)如图2 - 5,在$\triangle ABC$中,$BC = 5$,$AC = 6$,$AB = 7$,请用上面的公式计算$\triangle ABC$的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,$S = p = 15$,$a = 10$,求$bc$的值。

答案：
(1)由题意,得$p=\frac{BC+AC+AB}{2}=\frac{18}{2}=9$,所以$S=\sqrt{p(p-BC)(p-AC)(p-AB)}=\sqrt{9×4×3×2}=6\sqrt{6}$。即$\triangle ABC$的面积为$6\sqrt{6}$。
(2)由题意得$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{10+b+c}{2}=15$,所以$b+c=20$,因为$S=p=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,所以$S=\sqrt{15(15-10)(15-b)(15-c)}=15$,所以$(15-b)(15-c)=3$,所以$bc-15(b+c)+225=3$,即$bc-300+225=3$,所以$bc=78$。

17. (8分)高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”,是我们必须杜绝的行为。据研究,从高空抛出的物体下落所需时间$t$(单位：$s$)和高度$h$(单位：$m$)近似满足公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$(不考虑风速的影响)。
(1)从$60m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间t = $______$s$；(结果保留根号)
(2)从高空抛出的物体,经过$3\sqrt{2}s$落地,求所抛物体下落的高度是多少？
(3)资料显示：伤害无防护人体只需要$65J$的动能,从高空下落的物体产生的动能$E$(单位：$J$)可用公式$E = mgh$计算,其中,$m$为物体质量(单位：$kg$),$g \approx 10N/kg$,$h$为高度(单位：$m$)。根据以上信息判断,一个质量为$0.1kg的玩具经过4s$落在地面上,该玩具在坠落地面时是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由。

答案：
(1)$2\sqrt{3}$
(2)90 m
(3)会 能伤害到楼下无防护的行人。理由如下:当$t=4$时,$4=\sqrt{\frac{h}{5}}$。解得$h=80$。把$h=80$代入公式得,$E=mgh\approx10×0.1×80=80$ (J)$＞65$ (J)。所以质量为0.1 kg的玩具经过4 s落地会伤害到楼下无防护的行人。