《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

14. (8分)某校八年级学生学习了“勾股定理”之后,老师布置了一个综合实践作业,测量校园人工湖的深度,方法如下：在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3m的水底(即$CO = 3$m),只见竹竿高出水面OC的距离$AO = 1$m,把竹竿的顶端拉向湖边(底端不变),竿顶A和湖沿的水面C处平齐(即$AB = BC$),求湖水的深度OB和竹竿AB的长。

答案： 解:设湖水的深度OB = h dm,则竹竿AB的长为(h + 1)dm。在Rt△BOC中，因为OB = h dm,BC = (h + 1)dm,CO = 3dm,所以3² + h² = (h + 1)²,解得h = 4,所以h + 1 = 5。答:湖水的深度OB为4dm,竹竿AB的长为5dm。

15. (10分)某校为发挥“第二课堂”育人功能,开展丰富的社团活动。小王与小林参与了遥控赛车社团,如图1-12,在一次遥控赛车游戏中,终点为点A,小王的赛车从点C出发,以4m/s的速度由西向东行驶,同时小林的赛车从点B出发,以3m/s的速度由南向北行驶。已知赛车之间的距离小于或等于25m时,遥控信号会产生相互干扰,$AC = 40$m,$AB = 30$m,
(1)出发3s时,遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距A点的距离之和为35m时,遥控信号是否会产生相互干扰？

答案： 解:
(1)出发3s时,CC1 = 12m,BB1 = 9m,因为AC = 40m,AB = 30m,所以AC1 = 28m,AB1 = 21m,所以B1C1² = 28² + 21² = 35²,所以B1C1 = 35m。因为35＞25,所以出发3s时，遥控信号不会产生相互干扰。
(2)设出发t s时,两赛车距A点的距离之和为35m,由题意,得40 - 4t + 30 - 3t = 35,解得t = 5。此时AC1 = 20m,AB1 = 15m。AC1² + AB1² = 20² + 15² = 25²。即两赛车间的距离是25m,所以遥控信号将会受到干扰。

16. (10分)如图1-13,$\angle AOB = 90^{\circ}$,$OA = 8$m,$OB = 3$m,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球。如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等,那么机器人行走的路程BC是多少？

答案： 解:设BC = AC = x m,则OC = (8 - x)m,在Rt△BOC中,因为OB² + OC² = BC²,所以3² + (8 - x)² = x²,解得x = $\frac{73}{16}$。所以机器人行走的路程BC为$\frac{73}{16}$m。