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17. (12分)如图1-14,要在河边修一个水泵站,分别向A,B两村送水,已知A,B两村到河边的距离分别为2km和7km,且A,B两村相距13km。
(1)水泵站应修建在何处,可使所用水管最短？请在图中设计出水泵站P的位置；
(2)若铺设水管的费用为每千米4000元,为了使铺设水管费用最少,请求出最少的铺设水管的费用。
(1)水泵站应修建在何处,可使所用水管最短？请在图中设计出水泵站P的位置；
(2)若铺设水管的费用为每千米4000元,为了使铺设水管费用最少,请求出最少的铺设水管的费用。
答案：
解:
(1)作点A关于河边所在直线的对称点A',连接A'B交直线于点P,则点P为水泵站的位置，此时，PA + PB的长度之和最短，即所铺设水管最短。
(2)过B点作河边所在直线的垂线,过A'作河边所在直线的平行线，设这两线交于点C,则∠C = 90°。过A作AE⊥BC,垂足为E,依题意知BE = 7 - 2 = 5,AB = 13,所以AE² = AB² - BE² = 13² - 5² = 144,所以AE = 12(负值已舍去)，由题意,得A'C = AE = 12,因为BC = 7 + 2 = 9,A'C = 12,所以A'B² = A'C² + BC² = 9² + 12² = 225,所以A'B = 15(负值已舍去),因为PA = PA',所以PA + PB = A'B = 15,所以4000×15 = 60000(元)。答:最少的铺设水管的费用为60000元。
(1)作点A关于河边所在直线的对称点A',连接A'B交直线于点P,则点P为水泵站的位置，此时，PA + PB的长度之和最短，即所铺设水管最短。
(2)过B点作河边所在直线的垂线,过A'作河边所在直线的平行线，设这两线交于点C,则∠C = 90°。过A作AE⊥BC,垂足为E,依题意知BE = 7 - 2 = 5,AB = 13,所以AE² = AB² - BE² = 13² - 5² = 144,所以AE = 12(负值已舍去)，由题意,得A'C = AE = 12,因为BC = 7 + 2 = 9,A'C = 12,所以A'B² = A'C² + BC² = 9² + 12² = 225,所以A'B = 15(负值已舍去),因为PA = PA',所以PA + PB = A'B = 15,所以4000×15 = 60000(元)。答:最少的铺设水管的费用为60000元。
18. (12分)(综合实践)如图1-15,同学们想测量旗杆的高度,他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知。小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1m,如图①；
②把绳子拉直,绳子末端在地面上离旗杆底部的距离$AC = 4$m,如图②。
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结(打结绳长忽略不计),然后举起绳结拉到如图③点D处($BD = BC$),作$DE\perp BC$,垂足为E,$DF\perp AC$,垂足为F,$DF = EC$。
(1)请你按小明的方案求出旗杆BC的高度；
(2)在(1)的条件下,已知小亮举起绳结离旗杆的距离$DE = 4.5$m,求此时绳结到地面的高度DF。
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1m,如图①；
②把绳子拉直,绳子末端在地面上离旗杆底部的距离$AC = 4$m,如图②。
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结(打结绳长忽略不计),然后举起绳结拉到如图③点D处($BD = BC$),作$DE\perp BC$,垂足为E,$DF\perp AC$,垂足为F,$DF = EC$。
(1)请你按小明的方案求出旗杆BC的高度；
(2)在(1)的条件下,已知小亮举起绳结离旗杆的距离$DE = 4.5$m,求此时绳结到地面的高度DF。
答案：
解:
(1)设旗杆的长度为x m,则绳子的长度为(x + 1)m,在Rt△ABC中,由勾股定理,得x² + 4² = (x + 1)²,解得x = 7.5,故旗杆的高度为7.5m。
(2)由题可知,BD = BC = 7.5m,DE = 4.5m。在Rt△BDE中,由勾股定理,得BE² + 4.5² = 7.5²,解得BE = 6,所以EC = BC - BE = 7.5 - 6 = 1.5(m),所以DF = EC = 1.5m
(1)设旗杆的长度为x m,则绳子的长度为(x + 1)m,在Rt△ABC中,由勾股定理,得x² + 4² = (x + 1)²,解得x = 7.5,故旗杆的高度为7.5m。
(2)由题可知,BD = BC = 7.5m,DE = 4.5m。在Rt△BDE中,由勾股定理,得BE² + 4.5² = 7.5²,解得BE = 6,所以EC = BC - BE = 7.5 - 6 = 1.5(m),所以DF = EC = 1.5m
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