《2025年小学同步练习册四年级数学上册青岛版54制青岛出版社》

5. 想一想,画一画,填一填。你有什么发现?

(1)你发现的规律是什么？
通过画不同多边形（如三角形、四边形、五边形等），连接多边形顶点与其不相邻顶点（或作多边形对角线），可将多边形分割成若干个三角形。发现多边形内角和与分割成三角形个数有关，且分割成三角形个数总比多边形边数少2，即多边形内角和等于(边数 - 2)×180°。
(2)如果是十边形,那么它的内角和是多少度？n边形的内角和呢？
十边形内角和：(10 - 2)×180° = 1440°
n边形内角和：(n - 2)×180°

答案：
(1)发现的规律：
通过画不同多边形（如三角形、四边形、五边形等），连接多边形顶点与其不相邻顶点（或作多边形对角线），可将多边形分割成若干个三角形。发现多边形内角和与分割成三角形个数有关，且分割成三角形个数总比多边形边数少2，即多边形内角和等于(边数 - 2)×180°。
(2)十边形内角和：
(10 - 2)×180° = 1440°
n边形内角和：
(n - 2)×180°

6. 帕斯卡与“三角形内角和”的故事。
帕斯卡是法国著名的数学家。他在12岁时就发现:平面上任何一个三角形的内角和都是180°。那么他是怎么证明的呢?
平面上任意一个直角三角形都可以看作把长方形剪开得到的,每一个长方形的内角和是360°（由4个直角组成）,它恰好包含了两个直角三角形的6个内角,所以一个直角三角形的内角和是360°÷2=180°。在此基础上,他证明了任意锐角三角形的内角和是180°。

如上图所示,在锐角三角形内作一条高,会分割出两个不同的直角三角形。因为直角三角形的内角和是180°,所以除直角外的两个锐角的和为180°-90°=90°,即∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°；而∠1、∠2、∠3、∠4恰好组成了原来大锐角三角形的3个内角,即可得出任意锐角三角形的内角和为90°+90°=180°。
你看明白了吗?怎么证明钝角三角形的内角和也是180°呢?赶紧找个三角形试一试吧。

答案： 在钝角三角形内作一条高，会分割出两个不同的直角三角形。因为直角三角形的内角和是180°，所以除直角外的两个锐角的和为180°-90°=90°，即∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°；而∠1、∠2、∠3+∠4恰好组成了原来大钝角三角形的3个内角，即可得出任意钝角三角形的内角和为90°+90°=180°。