《2025年启东中学作业本八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 45^{\circ}$,$\angle C = 22.5^{\circ}$,$BD \perp CA$,交$CA的延长线于点D$。若$AC = 8\mathrm{cm}$,则$BD = $4$\mathrm{cm}$。

答案： 4

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ}$,连接$AC$。若$AC = \sqrt{6}$,则四边形$ABCD$的面积为______3。

答案： 3

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = BC$,$AB \perp BC$,$B(0,2)$,$C(2,-2)$,求点$A$的坐标。

答案： 解:如答图,作CM⊥y轴于点M.
∵B(0,2),C(2,−2),
∴CM=BO=OM=2,
∴BM=4.在Rt△AOB和Rt△BMC中,{AB=BC, BO=CM,
∴Rt△AOB≌Rt△BMC(HL),
∴AO=BM=4,
∴点A的坐标为(−4,0).

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$D为BC$上一点,过点$D作DE \perp AD$,且$DE = AD$,连接$BE$,求$\angle DBE$的度数。

答案： 解:如答图,作AM⊥BC于点M,作EN⊥BC于点N,
∴∠END=90°.
∵AB=AC,∠BAC=90°,AM⊥BC,
∴AM=MB=CM,∠AMD=90°.
∵AD⊥DE,
∴∠ADE=90°,
∴∠ADM+∠EDN=90°,∠EDN+∠NED=90°,
∴∠MDA=∠NED.
∵AD=DE,
∴△AMD≌△DNE(AAS),
∴DM=EN,DN=AM=BM,
∴DN−MN=BM−NM,即DM=BN,
∴BN=EN,
∴∠DBE=45°.

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$D是AC$边上一点,连接$BD$,$EC \perp AC$,垂足为$C$,且$AE = BD$,$AE交线段BC于点F$。
(1)在图中画出符合题意的图形,并证明$CE = AD$；
(2)当$\angle CFE = \angle ADB$时,求证：$BD平分\angle ABC$。

答案：
(1)解:画出图形如答图.证明:在Rt△ACE和Rt△BAD中,{AE=BD, AC=BA,
∴Rt△ACE≌Rt△BAD(HL),
∴CE=AD；
(2)证明:
∵Rt△ACE≌Rt△BAD,
∴∠E=∠ADB.
∵∠CFE=∠ADB,
∴∠CFE=∠E.
∵∠ACE+∠DAB=180°,
∴CE//AB,
∴∠E=∠FAB.
∵∠CFE=∠AFB,
∴∠BAF=∠AFB.
∵∠ADB=∠E=∠EAB,
∴AE⊥BD,
∴∠EAB+∠ABD=90°,∠AFB+∠FBD=90°,
∴∠ABD=∠FBD,
∴BD平分∠ABC.