《2025年启东中学作业本八年级数学上册人教版》

1. 如图,已知$\triangle ABD$是等边三角形,$BC = DC$,点$E在AD$上,$CE交BD于点F$,$AE = EC$。若$\angle CBD = 2\angle DCE$,则$\angle DCE$的度数为(B)
A.$40^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$15^{\circ}$

答案： B

2. 如图,已知$O是等边三角形ABC$内一点,$D是线段BO$延长线上一点,且$OD = OA$。如果$\angle AOB = 120^{\circ}$,那么$\angle BDC$的度数为60°。

答案： 1. 首先，因为$\triangle ABC$是等边三角形：
所以$AB = AC$，$\angle BAC=60^{\circ}$。
已知$\angle AOB = 120^{\circ}$，根据四边形内角和$\angle AOB+\angle AOC+\angle BAC+\angle OBC+\angle OCB = 360^{\circ}$，又因为$\angle OBC+\angle OCB = 180^{\circ}-\angle BOC$，且$\angle AOC+\angle BOC = 360^{\circ}-\angle AOB=240^{\circ}$。
我们将$\triangle AOB$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle AEC$。
由旋转性质可知：$\triangle AOB\cong\triangle AEC$，所以$AO = AE$，$\angle AOB=\angle AEC = 120^{\circ}$，$OB = EC$。
因为$AO = OD$，所以$AE = OD$。
又因为$\angle OAE = 60^{\circ}$（旋转角），所以$\triangle AOE$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，$AO = AE$），则$\angle AEO = 60^{\circ}$。
2. 然后，求$\angle CED$的度数：
因为$\angle AEC = 120^{\circ}$，$\angle AEO = 60^{\circ}$，所以$\angle CED=\angle AEC-\angle AEO=120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。
3. 接着，证明$\triangle EAC\cong\triangle DOC$：
因为$\angle AOC+\angle BOC = 240^{\circ}$，$\angle AOB=\angle AEC = 120^{\circ}$，$\angle BOC+\angle DOC = 180^{\circ}$，所以$\angle AOC=180^{\circ}-\angle DOC + 60^{\circ}$。
又因为$\angle EAC=\angle BAO$，$\angle BAO+\angle OAC = 60^{\circ}$，$\angle OAC+\angle CAD=\angle OAD = 60^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle CAD$。
由$AB = AC$，$\triangle AOB\cong\triangle AEC$得$OB = EC$，$AO = OD$，$\angle AEC=\angle AOB = 120^{\circ}$，$\angle AEO = 60^{\circ}$，$\angle CED = 60^{\circ}$。
因为$AC = BC$（$\triangle ABC$是等边三角形），$\angle EAC=\angle OBC$（旋转性质），$\angle DOC = 60^{\circ}$（$\angle AOB = 120^{\circ}$，$\angle AOE = 60^{\circ}$，$\angle BOC+\angle DOC = 180^{\circ}$，$\angle BOC = 120^{\circ}$）。
在$\triangle EAC$和$\triangle DOC$中：
$AE = OD$，$\angle AEC=\angle DOC = 120^{\circ}$，$EC = OB$（由旋转$\triangle AOB\cong\triangle AEC$），$\angle ECA=\angle OBC$（$\triangle AOB\cong\triangle AEC$），$\angle OBC+\angle BOC+\angle OCB = 180^{\circ}$，$\angle OCD+\angle OCB = 60^{\circ}$，$\angle DOC = 60^{\circ}$，$\angle ECA+\angle OCD=\angle ECD = 60^{\circ}$。
又因为$AC = BC$，$\angle EAC+\angle OAC = 60^{\circ}$，$\angle OAC+\angle CAD=\angle OAD = 60^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle CAD$。
由$AO = OD$，$AO = AE$得$AE = OD$，$\angle AEC=\angle DOC = 120^{\circ}$，$EC = OB$，且$\angle ECD=\angle AOB-\angle AOE=60^{\circ}$（通过角度转化）。
可证$\triangle EAC\cong\triangle DOC(SAS)$（$AE = OD$，$\angle AEC=\angle DOC$，$EC = OB$，这里$OB$和$EC$，$AE$和$OD$，$\angle AEC$和$\angle DOC$对应相等）。
4. 最后，求$\angle BDC$的度数：
因为$\triangle EAC\cong\triangle DOC$，所以$DC = EC$。
又因为$\angle CED = 60^{\circ}$，所以$\triangle EDC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，$DC = EC$）。
所以$\angle BDC = 60^{\circ}$。
故$\angle BDC$的度数为$60^{\circ}$。

3. 如图,已知等边三角形$ABC的边长为5$,$D为直线BC$上一点,$BD = 1$,$DE// AB交直线AC于点E$,则$DE$的长为4或6。

答案： 4或6

4. 如图,已知$\triangle ABC$是等边三角形,$D为AC$边上一点,$\angle 1 = \angle 2$,$BD = CE$。
(1)求证：$\triangle ABD\cong\triangle ACE$；
(2)求证：$\triangle ADE$是等边三角形。

答案： 证明:
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=60°.
在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠1=∠2,BD=CE}
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,∠CAE=∠BAD=60°,
∴△ADE是等边三角形.

5. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D$,$E分别为AB$,$AC$边上的动点,$BD = 2AE$,连接$DE$,以$DE为边在\triangle ABC内作等边三角形DEF$,连接$CF$。当点$D从点A向点B$运动(不运动到点$B$)时,$\angle ECF$的大小变化情况是(A)
A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大后变小

答案： A

6. 如图,已知$\triangle ABC$为等边三角形,$AB = 10$,点$M在AB$边所在的直线上,点$N在AC$边所在的直线上,且$MN = MC$。若$AM = 16$,则$CN$的长为4或36。

答案： 4或36