《2025年启东中学作业本八年级数学上册人教版》

7. 如图,△ABC中,D为AC边上一点,过点D作DE//AB,交BC于点E,F为AB边上一点,连接DF并延长,交CB的延长线于点G,且∠DFA= ∠A.
(1)求证:DE平分∠CDF;
证明:
∵DE//AB,
∴∠A=∠CDE,∠DFA=∠FDE.
∵∠DFA=∠A,
∴∠CDE=∠FDE,
∴DE 平分∠CDF.
(2)若∠C= 80°,∠ABC= 60°,求∠G的度数.
解:
∵∠A+∠C+∠ABC=180°,∠C=80°,
∠ABC=60°,
∴∠A=180°-60°-80°=40°.
∵∠DFA=∠A,
∴∠GFB=∠DFA=40°.
∵∠ABC=60°,
∴∠GBF=120°,
∴∠G=180°-∠GFB-∠GBF=180°-40°-120°=20°.

答案：
(1)证明:
∵DE//AB,
∴∠A=∠CDE,∠DFA=∠FDE.
∵∠DFA=∠A,
∴∠CDE=∠FDE,
∴DE 平分∠CDF.
(2)解:
∵∠A+∠C+∠ABC=180°,∠C=80°,
∠ABC=60°,
∴∠A=180°-60°-80°=40°.
∵∠DFA=∠A,
∴∠GFB=∠DFA=40°.
∵∠ABC=60°,
∴∠GBF=120°,
∴∠G=180°-∠GFB-∠GBF=180°-40°-120°=20°.

8. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点F.
(1)若∠DCB= 40°,求∠CEF的度数;
(2)求证:∠CEF= ∠CFE.

答案：
(1)解:
∵CD 是高,∠DCB=40°,
∴∠B=50°.
又
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC=40°.
又
∵AE 是角平分线,
∴∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC=20°,
∴∠CEF=90°-20°=70°.
(2)证明:
∵CD⊥AB,
∴∠CFE=∠AFD=90°-∠DAF=90°-20°=70°,
∴∠CEF=∠CFE.

9. 在△ABC中,∠A= n°,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O.
(1)如图①,求∠BOC的度数.(用含n的代数式表示)
解:
∵∠ABC,∠ACB 的平分线交于点 O,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-($\frac{1}{2}$∠ABC$\frac{+1}{2}$∠ACB)
=180°$\frac{-1}{2}$(180°-∠A)
=90°$\frac{+1}{2}$∠A
=90°$\frac{+1}{2}$n°.
(2)如图②,过点O作直线DE//BC,分别交边AB,AC于点D,E,则∠DOB+∠EOC= 90°$\frac{-1}{2}$n°.
(3)将直线DE绕点O旋转.
①如图③,直线DE与AB,AC的交点分别在线段AB和AC上,试探索∠DOB,∠EOC,∠A三者之间的数量关系,并说明你的理由;
解:∠DOB+∠EOC=90°$\frac{-1}{2}$∠A.
理由:
∵∠BOC=90°$\frac{+1}{2}$∠A,
∴∠DOB + ∠EOC = 180° - ∠BOC = 180° -
(90°$\frac{+1}{2}$∠A)=90°$\frac{-1}{2}$∠A.
②如图④,直线DE与AB的交点在线段AB上,与AC的交点在AC的延长线上,则∠DOB,∠EOC,∠A三者之间的数量关系为∠DOB-∠EOC=90°$\frac{-1}{2}$∠A.

答案：
(1)解:
∵∠ABC,∠ACB 的平分线交于点 O,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-($\frac{1}{2}$∠ABC$\frac{+1}{2}$∠ACB)
=180°$\frac{-1}{2}$(180°-∠A)
=90°$\frac{+1}{2}$∠A
=90°$\frac{+1}{2}$n°.
(2)90°$\frac{-1}{2}$n°
(3)①解:∠DOB+∠EOC=90°$\frac{-1}{2}$∠A.
理由:
∵∠BOC=90°$\frac{+1}{2}$∠A,
∴∠DOB + ∠EOC = 180° - ∠BOC = 180° -
(90°$\frac{+1}{2}$∠A)=90°$\frac{-1}{2}$∠A.
②∠DOB-∠EOC=90°$\frac{-1}{2}$∠A