《2025年启东中学作业本八年级数学上册人教版》

5. (2024 春·邗江期末) 如图,点$D$,$E在\triangle ABC的边BC$上,$AD = AE$,$BD = CE$. 求证：$AB = AC$.

答案：
证明:如答图，过点A作AF⊥BC于点F.
∵AD = AE，
∴DF = EF;
∵BD = CE，
∴BD + DF = CE + EF即BF = CF.
∵AF⊥BC，
∴AB = AC;

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 2AB$,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,$E是AD$上一点,连接$BE$,$EC$,且$EA = EC$. 求证：$EB \perp AB$.

答案：
证明:如答图，作EF⊥AC于点F.

∵EA = EC，
∴AF = FC = $\frac{1}{2}$AC;
∵AC = 2AB，
∴AF = AB.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD.
在△BAE和△FAE中，{AB = AF，∠BAE = ∠FAE，AE = AE}
∴△BAE≌△FAE(SAS)，
∴∠ABE = ∠AFE = 90°，
∴EB⊥AB.

7. 小明遇到这样一个问题：
如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D在AB$上,且$BD = BC$,求证：$\angle ABC = 2\angle ACD$.
小明发现,除了直接用角度计算的方法外,还可以用下面的方法：如图②,作$BE \perp CD$,垂足为$E$,证明$\angle ABC = 2\angle ACD$.
请从以上两种方法中任选一种,加以证明.

答案： 证明:(方法1)
∵∠ACB = 90°，
∴∠BCD = 90°−∠ACD.又
∵BC = BD，
∴∠BCD = ∠BDC，
∴∠ABC = 180°−2∠BCD = 180°−2(90°−∠ACD)=2∠ACD.
(方法2)
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD + ∠BCE = 90°，∠CBE + ∠BCE = 90°，
∴∠ACD = ∠CBE;
又
∵BC = BD，BE⊥CD，
∴∠ABC = 2∠CBE，
∴∠ABC = 2∠ACD.