《2025年万唯新初一分班考》

4. 衔接初中 (2023 陕西西安 QJD1 学校分班考)我国古代数学著作《周髀算经》中记录着这样的语句:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(1)如图①,在直角三角形 ABC 中,∠C= 90°,请你结合图形写出勾股定理的字母表达式:( )。
(2)能够成直角三角形的线段有很多,比如 3,4,5;请你再写出一组能构成直角三角形的线段( )。
(3)在劳动课上,老师请同学们在一张长为 40 cm,宽为 26 cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为 25 cm 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余两个顶点在长方形的边上)。请你帮助同学们设计出不同类型的,你认为符合条件的等腰三角形,(分别在下列矩形中画出示意图)并分别计算等腰三角形的面积。(位置不同,形状相同的将视为一种结果)

答案： 解:
(1)$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
(2)5,12,13(答案不唯一)
(3)方案一:如解图①所示,$AB=AC=25\,\text{cm}$$S_{\text{三角形}ABC}=25× 25÷ 2=312.5\,(\text{cm}^{2})$;方案二:如解图②所示,$AC=BC=25\,\text{cm}$$CD=40-25=15\,(\text{cm})$因为$BD^{2}=BC^{2}-CD^{2}=25^{2}-15^{2}=400$,$400=20× 20$所以$BD=20\,\text{cm}$$S_{\text{三角形}ABC}=25× 20÷ 2=250\,(\text{cm}^{2})$;方案三:如解图③所示,$AB=BC=25\,\text{cm}$$BD=26-25=1\,(\text{cm})$因为$CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=25^{2}-1^{2}=624$,$624=4^{2}× 39$所以$CD=4\sqrt{39}\,\text{cm}$$S_{\text{三角形}ABC}=25× 4\sqrt{39}÷ 2=50\sqrt{39}\,(\text{cm}^{2})$;答:等腰三角形的面积分别为$312.5\,\text{cm}^{2}$或$250\,\text{cm}^{2}$或$50\sqrt{39}\,\text{cm}^{2}$。

5. (2024 福建福州 SDHW 中学分班考)一个边长为 1 分米的正方形,若四个角各剪去一个边长为 1 厘米的小正方形,那么裁剪后的图形周长相比原图形( )。

A.增加 4 厘米
B.减少 4 厘米
C.和原来相等
D.都不是

答案： C

6. (2024 陕西西安 DYL 学校分班考)把一个长 8 厘米、宽 5 厘米的长方形,按如图方式折一折,则阴影部分四个三角形的周长之和是( )厘米。

答案： 26

7. (2024 江西南昌 WGY 学校分班考)用塑料绳把 4 个底面直径为 7 厘米的啤酒瓶捆扎在一起(如图),捆一圈至少需要多少厘米的绳子?(接头处用 20 厘米)

答案： 解:捆扎一圈至少需要绳子的长度为$20+7× 4+3.14× 7=69.98$(厘米)。答:捆一圈至少需要69.98厘米的绳子。