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16. (12分)如图 3-M-3,学校准备修建一个面积为 $ 48 \mathrm { m } ^ { 2 } $ 的矩形花园.它的一边靠墙,其余三边利用长 $ 20 \mathrm { m } $ 的围栏围成.已知墙长 $ 9 \mathrm { m } $,问围成矩形的长和宽各是多少.
答案：
1. 设矩形花园靠墙的一边长为$x$米（$0\lt x\leqslant9$），则与墙垂直的一边长为$\frac{20 - x}{2}$米：
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，已知面积$S = 48m^{2}$，可列方程$x\cdot\frac{20 - x}{2}=48$。
2. 化简方程：
方程$x\cdot\frac{20 - x}{2}=48$两边同时乘以$2$得$x(20 - x)=96$。
展开括号得$20x−x^{2}=96$。
移项化为一元二次方程的一般形式$x^{2}-20x + 96 = 0$。
3. 分解因式求解方程：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b=-20$，$c = 96$），根据$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，也可分解因式，$x^{2}-20x + 96=(x - 8)(x - 12)=0$。
则$x−8 = 0$或$x−12 = 0$。
解得$x_{1}=8$，$x_{2}=12$。
4. 检验并确定$x$的值：
因为墙长$9m$，$x_{2}=12\gt9$，不符合题意，舍去。
当$x = 8$时，与墙垂直的一边长为$\frac{20 - 8}{2}=6$（米）。
所以，围成矩形花园的长是$8$米，宽是$6$米。
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，已知面积$S = 48m^{2}$，可列方程$x\cdot\frac{20 - x}{2}=48$。
2. 化简方程：
方程$x\cdot\frac{20 - x}{2}=48$两边同时乘以$2$得$x(20 - x)=96$。
展开括号得$20x−x^{2}=96$。
移项化为一元二次方程的一般形式$x^{2}-20x + 96 = 0$。
3. 分解因式求解方程：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b=-20$，$c = 96$），根据$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，也可分解因式，$x^{2}-20x + 96=(x - 8)(x - 12)=0$。
则$x−8 = 0$或$x−12 = 0$。
解得$x_{1}=8$，$x_{2}=12$。
4. 检验并确定$x$的值：
因为墙长$9m$，$x_{2}=12\gt9$，不符合题意，舍去。
当$x = 8$时，与墙垂直的一边长为$\frac{20 - 8}{2}=6$（米）。
所以，围成矩形花园的长是$8$米，宽是$6$米。
17. (12分)已知关于 $ x $ 的方程 $ m x ^ { 2 } + ( 4 m - 2 ) x + 4 m - 4 = 0 $($ m $ 为常数,且 $ m \neq 0 $).
(1)求证:方程总有实数根;
(2)若该方程有两个实数根,
①不论 $ m $ 取何实数,该方程总有一个不变的实数根,为______
②若 $ m $ 为整数,且方程的两个实数根都是整数,求 $ m $ 的值.
(1)求证:方程总有实数根;
(2)若该方程有两个实数根,
①不论 $ m $ 取何实数,该方程总有一个不变的实数根,为______
$x=-2$
;②若 $ m $ 为整数,且方程的两个实数根都是整数,求 $ m $ 的值.
$\pm1$，$\pm2$
答案：
1. （1）证明：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$mx^{2}+(4m - 2)x + 4m-4 = 0$中，$a = m$，$b=(4m - 2)$，$c = 4m-4$。
则$\Delta=(4m - 2)^{2}-4m(4m - 4)$
展开$(4m - 2)^{2}-4m(4m - 4)$：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(4m - 2)^{2}=16m^{2}-16m + 4$；
根据单项式乘多项式法则$4m(4m - 4)=16m^{2}-16m$；
所以$\Delta=16m^{2}-16m + 4-(16m^{2}-16m)$。
去括号得$\Delta=16m^{2}-16m + 4 - 16m^{2}+16m$。
合并同类项得$\Delta = 4\gt0$。
所以方程总有实数根。
2. （2）①
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，这里$a = m$，$b=(4m - 2)$，$\Delta = 4$。
$x=\frac{-(4m - 2)\pm\sqrt{4}}{2m}=\frac{-(4m - 2)\pm2}{2m}$。
则$x_{1}=\frac{-(4m - 2)+2}{2m}=\frac{-4m + 2 + 2}{2m}=\frac{-4m+4}{2m}=\frac{-4m}{2m}+\frac{4}{2m}=-2+\frac{2}{m}$，$x_{2}=\frac{-(4m - 2)-2}{2m}=\frac{-4m + 2-2}{2m}=-2$。
所以不论$m$取何实数，该方程总有一个不变的实数根为$x=-2$。
3. ②
由①知$x_{1}=-2+\frac{2}{m}$，$x_{2}=-2$。
因为$m$为整数，且方程的两个实数根都是整数。
所以$m$为$2$的因数。
则$m=\pm1$，$\pm2$。
综上，（2）①答案为$x = - 2$；（2）②$m$的值为$\pm1$，$\pm2$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$mx^{2}+(4m - 2)x + 4m-4 = 0$中，$a = m$，$b=(4m - 2)$，$c = 4m-4$。
则$\Delta=(4m - 2)^{2}-4m(4m - 4)$
展开$(4m - 2)^{2}-4m(4m - 4)$：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(4m - 2)^{2}=16m^{2}-16m + 4$；
根据单项式乘多项式法则$4m(4m - 4)=16m^{2}-16m$；
所以$\Delta=16m^{2}-16m + 4-(16m^{2}-16m)$。
去括号得$\Delta=16m^{2}-16m + 4 - 16m^{2}+16m$。
合并同类项得$\Delta = 4\gt0$。
所以方程总有实数根。
2. （2）①
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，这里$a = m$，$b=(4m - 2)$，$\Delta = 4$。
$x=\frac{-(4m - 2)\pm\sqrt{4}}{2m}=\frac{-(4m - 2)\pm2}{2m}$。
则$x_{1}=\frac{-(4m - 2)+2}{2m}=\frac{-4m + 2 + 2}{2m}=\frac{-4m+4}{2m}=\frac{-4m}{2m}+\frac{4}{2m}=-2+\frac{2}{m}$，$x_{2}=\frac{-(4m - 2)-2}{2m}=\frac{-4m + 2-2}{2m}=-2$。
所以不论$m$取何实数，该方程总有一个不变的实数根为$x=-2$。
3. ②
由①知$x_{1}=-2+\frac{2}{m}$，$x_{2}=-2$。
因为$m$为整数，且方程的两个实数根都是整数。
所以$m$为$2$的因数。
则$m=\pm1$，$\pm2$。
综上，（2）①答案为$x = - 2$；（2）②$m$的值为$\pm1$，$\pm2$。
18. (12分)某商店恰好年前新进了一批口罩,若按每个盈利 1 元销售,每天可售出 200 个,如果每个口罩的售价每上涨 0.5 元,那么每天的销售量就减少 10 个,问每个涨价多少元时,才能尽可能让顾客得到实惠的同时每天的利润为 480 元.
答案：
解:设每个涨价 x 元,则每天可售出$ (200 - 10 \times \frac{x}{0.5}) $个.
依题意,得$ (1 + x)(200 - 10 \times \frac{x}{0.5}) = 480 $,
化简,得$ x^{2} - 9x + 14 = 0 $,
解得$ x_{1} = 2 $, $ x_{2} = 7 $.
又
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴$ x = 2 $.
答:每个涨价 2 元时,才能尽可能让顾客得到实惠的同时每天的利润为 480 元.
依题意,得$ (1 + x)(200 - 10 \times \frac{x}{0.5}) = 480 $,
化简,得$ x^{2} - 9x + 14 = 0 $,
解得$ x_{1} = 2 $, $ x_{2} = 7 $.
又
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴$ x = 2 $.
答:每个涨价 2 元时,才能尽可能让顾客得到实惠的同时每天的利润为 480 元.
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