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16. (15 分)(2023 南京鼓楼区开学考)用适当的方法解下列方程:
(1)$x(x-4)= 2(4-x)$;
(2)$x^{2}+3x= 4$;
(3)$3x^{2}+5x+1= 0$.
(1)$x(x-4)= 2(4-x)$;
(2)$x^{2}+3x= 4$;
(3)$3x^{2}+5x+1= 0$.
答案：
(1)$x_{1}=4,x_{2}=-2$
(2)$x_{1}=-4,x_{2}=1$
(3)$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{13}}{6},x_{2}=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$
(1)$x_{1}=4,x_{2}=-2$
(2)$x_{1}=-4,x_{2}=1$
(3)$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{13}}{6},x_{2}=\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$
17. (13 分)已知关于 x 的一元二次方程 $(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$,其中 a,b,c 分别为 $△ABC$ 的三边长.
(1)如果 $x= -1$ 是此方程的根,试判断 $△ABC$ 的形状,并说明理由;
(2)如果该方程有两个相等的实数根,试判断 $△ABC$ 的形状,并说明理由;
(3)如果 $△ABC$ 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
(1)如果 $x= -1$ 是此方程的根,试判断 $△ABC$ 的形状,并说明理由;
(2)如果该方程有两个相等的实数根,试判断 $△ABC$ 的形状,并说明理由;
(3)如果 $△ABC$ 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
答案：
$(1)$ 判断$\triangle ABC$的形状
- **解**：
已知$x = - 1$是方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$的根，将$x=-1$代入方程可得：
$(a + c)×(-1)^{2}+2b×(-1)+(a - c)=0$
即$a + c-2b + a - c = 0$，
合并同类项得$2a-2b = 0$，
两边同时除以$2$得$a - b = 0$，即$a = b$。
根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
$(2)$ 判断$\triangle ABC$的形状
- **解**：
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$。
在方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$中，$A = a + c$，$B = 2b$，$C = a - c$，
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=0$。
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，则$4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=0$，
两边同时除以$4$得$b^{2}-a^{2}+c^{2}=0$，即$a^{2}=b^{2}+c^{2}$。
根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，则这个三角形是直角三角形，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
$(3)$ 求方程的根
- **解**：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c$。
将$a = b = c$代入方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$，可得$(a + a)x^{2}+2ax+(a - a)=0$，即$2ax^{2}+2ax = 0$（$a\neq0$，因为三角形边长大于$0$）。
提取公因式$2ax$得$2ax(x + 1)=0$。
根据“若$mn = 0$，则$m = 0$或$n = 0$”，则$2ax = 0$或$x + 1 = 0$。
由$2ax = 0$（$a\neq0$）得$x_{1}=0$；由$x + 1 = 0$得$x_{2}=-1$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\triangle ABC}$是等腰三角形；$(2)$$\boldsymbol{\triangle ABC}$是直角三角形；$(3)$$\boldsymbol{x_{1}=0,x_{2}=-1}$。
- **解**：
已知$x = - 1$是方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$的根，将$x=-1$代入方程可得：
$(a + c)×(-1)^{2}+2b×(-1)+(a - c)=0$
即$a + c-2b + a - c = 0$，
合并同类项得$2a-2b = 0$，
两边同时除以$2$得$a - b = 0$，即$a = b$。
根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
$(2)$ 判断$\triangle ABC$的形状
- **解**：
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$。
在方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$中，$A = a + c$，$B = 2b$，$C = a - c$，
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=0$。
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，则$4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=0$，
两边同时除以$4$得$b^{2}-a^{2}+c^{2}=0$，即$a^{2}=b^{2}+c^{2}$。
根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，则这个三角形是直角三角形，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
$(3)$ 求方程的根
- **解**：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c$。
将$a = b = c$代入方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$，可得$(a + a)x^{2}+2ax+(a - a)=0$，即$2ax^{2}+2ax = 0$（$a\neq0$，因为三角形边长大于$0$）。
提取公因式$2ax$得$2ax(x + 1)=0$。
根据“若$mn = 0$，则$m = 0$或$n = 0$”，则$2ax = 0$或$x + 1 = 0$。
由$2ax = 0$（$a\neq0$）得$x_{1}=0$；由$x + 1 = 0$得$x_{2}=-1$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\triangle ABC}$是等腰三角形；$(2)$$\boldsymbol{\triangle ABC}$是直角三角形；$(3)$$\boldsymbol{x_{1}=0,x_{2}=-1}$。
18. (14 分)定义:如果关于 x 的方程 $a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}= 0(a_{1}≠0,a_{1},b_{1},c_{1}$ 是常数)与 $a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}= 0(a_{2}≠0,a_{2},b_{2},c_{2}$ 是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 $a_{1}+a_{2}= 0,b_{1}= b_{2},c_{1}+c_{2}= 0$,则称这两个方程互为“对称方程”.例如:方程 $2x^{2}-3x+1= 0$ 的“对称方程”是 $-2x^{2}-3x-1= 0$,请根据上述内容,解决以下问题:
(1)直接写出方程 $x^{2}-4x+3= 0$ 的“对称方程”;
(2)若关于 x 的方程 $3x^{2}+(m-1)x-n= 0$ 与 $-3x^{2}-x= -1$ 互为“对称方程”,求 m,n 的值及 $3x^{2}+(m-1)x-n= 0$ 的解.
(1)直接写出方程 $x^{2}-4x+3= 0$ 的“对称方程”;
(2)若关于 x 的方程 $3x^{2}+(m-1)x-n= 0$ 与 $-3x^{2}-x= -1$ 互为“对称方程”,求 m,n 的值及 $3x^{2}+(m-1)x-n= 0$ 的解.
答案：
(1)$-x^{2}-4x-3=0$
(2)$m=0,n=1,3x^{2}+(m-1)x-n=0$的解为$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{6},x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{6}$
(1)$-x^{2}-4x-3=0$
(2)$m=0,n=1,3x^{2}+(m-1)x-n=0$的解为$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{6},x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{6}$
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