《2025年PASS教材搭档六年级数学上册鲁教版》

类型 1 含绝对值的有理数的混合运算
例1 计算：
(1)$-0.5^{2}+\frac{1}{4}-\left|-3^{2}-9\right|-\left(-1 \frac{1}{2}\right)^{3} × \frac{16}{27}$；
(2)$3^{2025}-5 ×|-3|^{2024}+6 × 3^{2023}+2025 ×(-1)^{2024}$。

答案： 规范解答：
(1)$-0.5^{2}+\frac{1}{4}-\left|-3^{2}-9\right|-\left(-1 \frac{1}{2}\right)^{3} × \frac{16}{27}$
$=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}-\mid-9-9 \left|-\left(-\frac{3}{2}\right)^{3} × \frac{16}{27}\right.$
$=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-|-18|-\left(-\frac{27}{8}\right) × \frac{16}{27}$
$=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-|-18|-\left(-\frac{16}{8}\right)$
$=-18-(-2)$
$=-18+2$
$=-16$。
(2)$3^{2025}-5 ×|-3|^{2024}+6 × 3^{2023}+2025 ×(-1)^{2024}$
$=9 × 3^{2023}-5 × 3 × 3^{2023}+6 × 3^{2023}+2025 × 1$
$=(9-15+6) × 3^{2023}+2025$
$=0 × 3^{2023}+2025$
$=2025$。
类题巧解
0乘任何数都等于0，运用这一结论能简化数的计算。在运算中，能够凑成含0因数时，一般都凑成含有0的因数进行计算。

类型 2 定义新运算中的有理数的混合运算
例2 在有理数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“$\oplus$”如下：当$a \geqslant b$时，$a \oplus b=b^{2}$；当$a＜b$时，$a \oplus b=a$。请试求$x=2$时，$(1 \oplus x) · x-(3 \oplus x)$的值(“$·$”和“$-$”分别为有理数运算中的乘法和减法)。

答案： 规范解答：当$x=2$时，$(1 \oplus x) · x-(3 \oplus x)=(1 \oplus 2) × 2-(3 \oplus 2)=1 × 2-2^{2}=-2$。

例3 现规定一种新的运算“$*$”：$a*b=a^{b}$，如$3*2=3^{2}=9$。计算下列各题。
(1)$\frac{1}{2} * 3$；
(2)$\left[-3.5 ÷\left(-\frac{7}{8}\right) ×\left(-\frac{3}{4}\right)\right] *(-2+4)$。

答案： 规范解答：
(1)$\frac{1}{2} * 3=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{8}}$。
(2)$\left[-3.5 ÷\left(-\frac{7}{8}\right) ×\left(-\frac{3}{4}\right)\right] *(-2+4)$
$=\left[-\frac{7}{2} ×\left(-\frac{8}{7}\right) ×\left(-\frac{3}{4}\right)\right] * 2$
$=(-3) * 2$
$=(-3)^{2}$
$=9$。
类题巧解
弄清新定义运算的含义是解决此类问题的关键。

类型 3 有理数的混合运算中规律的探究
例4 分析下列计算过程，发现规律，然后利用规律探究。
$\frac{1}{1 × 3}=\frac{1}{2} ×\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)$；
$\frac{1}{3 × 5}=\frac{1}{2} ×\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$；
$\frac{1}{5 × 7}=\frac{1}{2} ×\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)$；
$ ·s ·s $
探究$\frac{1}{1 × 3}+\frac{1}{3 × 5}+\frac{1}{5 × 7}+·s+\frac{1}{2021 × 2023}+\frac{1}{2023 × 2025}$的值。

答案： 规范解答：原式$=\frac{1}{2} ×\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2} ×\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2} ×\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+·s+\frac{1}{2} ×\left(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2023}\right)+\frac{1}{2} ×\left(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025}\right)$
$=\frac{1}{2} ×\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+·s+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2023}+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025}\right)$
$=\frac{1}{2} ×\left(1-\frac{1}{2025}\right)$
$=\frac{1}{2} × \frac{2024}{2025}$
$=\frac{1012}{2025}$。
类题巧解
解决此类问题切记勿盲目计算，应根据已知条件找出数与数之间的联系，进而简化计算。