《2025年高中同步单元滚动强化卷高中数学选择性必修第三册人教A版》

16. （15 分）已知 $(\sqrt[3]{x^{2}}+3x)^{n}$ 展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大 $4032$。
（1）求展开式中含 $x^{4}$ 的项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项。

答案： 16.解：
(1)令$x = 1$，得展开式各项系数的和为$4^{n}$，而二项
式系数的和为$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ·s + C_{n}^{n} = 2^{n}$.
由题意，得$4^{n} - 2^{n} = 4032$，即$(2^{n} - 64)(2^{n} + 63) = 0$，解
得$2^{n} = 64$或$2^{n} = - 63$.
又因为$n \in \mathbf{N}^{*}$，所以$2^{n} = 64$，故$n = 6$，二项展开式的第
$r + 1$项为$T_{r + 1} = 3^{r} · C_{6}^{r} · x^{\frac{12 + r}{3}}$.
令$\frac{12 + r}{3} = 4$，解得$r = 0$，
所以展开式中含$x^{4}$的项为$T_{1} = 3^{0} · C_{6}^{0} · x^{4} = x^{4}$.
(2)因为$n = 6$，所以展开式中第4项的二项式系数最大，
即$T_{3 + 1} = 3^{3} · C_{6}^{3} · x^{\frac{12 + 3}{3}} = 540x^{5}$.

17. （15 分）从 $1$ 到 $9$ 的 $9$ 个数字中取 $3$ 个偶数和 $4$ 个奇数，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）在（1）中的七位数中，$3$ 个偶数排在一起的有几个？
（3）在（1）中的七位数中，$3$ 个偶数排在一起，$4$ 个奇数也排在一起的有几个？

答案： 17.解：
(1)分三步完成：第1步，在4个偶数中取3个，有
$C_{4}^{3}$种情况；第2步，在5个奇数中取4个，有$C_{5}^{4}$种情
况；第3步，3个偶数，4个奇数进行排列，有$A_{7}^{7}$种情
况.所以符合题意的七位数有$C_{4}^{3}C_{5}^{4}A_{7}^{7} = 100800$个.
(2)在
(1)中的七位数中，3个偶数排在一起的有
$C_{4}^{3}C_{5}^{4}A_{5}^{5}A_{3}^{3} = 14400$个.
(3)在
(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数
也排在一起的有$C_{4}^{3}C_{5}^{4}A_{4}^{4}A_{3}^{3} = 5760$个.