《2025年高中同步单元滚动强化卷高中数学选择性必修第三册人教A版》

18. （17 分）有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个盒子和 4 个小球，把小球全部放入盒子，问：
（1）共有多少种放法？
（2）恰有 1 个空盒，有多少种放法？

答案： 18.解：
(1)将$1$号小球放入任意$1$个盒子中，共有$4$种放法，同理，$2,3,4$号小球也各有$4$种不同的放法，故共有$4^{4} = 256$种不同的放法.
(2)由题意知，必有$1$个盒子中放入$2$个小球，从$4$个小球中取出$2$个小球，有$C_{4}^{2}$种取法，此时把它看作$1$个小球，再与另外$2$个小球相当于共有$3$个小球放入$4$个盒子中，有$A_{4}^{3}$种放法，所以满足题意的放法共有$C_{4}^{2}A_{4}^{3} = 144$种.

19. （17 分）利用二项式定理证明：$49^{n} + 16n - 1$（$n \in N^{*}$）能被 16 整除。

答案： 19.证明：$49^{n} + 16n - 1 = (48 + 1)^{n} + 16n - 1 = C_{n}^{0} · 48^{n} + C_{n}^{1} · 48^{n - 1} + ·s + C_{n}^{n - 1} · 48 + C_{n}^{n} + 16n - 1 = C_{n}^{0} · 48^{n} + C_{n}^{1} · 48^{n - 1} + ·s + C_{n}^{n - 1} · 48 + 16n$，因为$48$可以被$16$整除，$16n$也可以被$16$整除，所以$C_{n}^{0} · 48^{n} + C_{n}^{1} · 48^{n - 1} + ·s + C_{n}^{n - 1} · 48 + 16n$可以被$16$整除.所以$49^{n} + 16n - 1(n \in \mathbf{N}^{*})$能被$16$整除.