《2025年高中同步单元滚动强化卷高中数学选择性必修第三册人教A版》

1. 将一枚质地均匀的骰子投掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是(C)

A.第一次出现的点数
B.第二次出现的点数
C.两次出现点数之和
D.两次出现相同点的种数

答案： 1.C 由随机变量的定义知，将一枚质地均匀的骰子投掷两次，两次出现点数之和可作为此次试验的随机变量.故选C.

2. 在某市高二下学期期中考试中，学生的数学成绩 $ X \sim N(90,\sigma^{2}) $。已知 $ P(70 \lt X \leqslant 90)=0.35 $，则从全市学生中任选一名，其数学成绩低于110分的概率为(D)

A.0.15
B.0.50
C.0.70
D.0.85

答案： 2.D 由于$X\sim N(90,\sigma^{2})$，由正态曲线的对称性，得$P(X\geq110)=P(X\leq70)=0.5 - P(70 ＜ X\leq90)=0.15$，所以$P(X ＜ 110)=1 - P(X\geq110)=1 - 0.15 = 0.85$.故选D.

3. 设随机变量 $ X,Y $ 满足：$ Y = 3X - 1 $，$ X \sim B(2,p) $，若 $ P(X \geqslant 1)=\frac{5}{9} $，则 $ D(Y) $ 等于(A)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 3.A 由题意，得$P(X\geq1)=1 - P(X = 0)=1 - C_{2}^{0}(1 - p)^{2}=\frac{5}{9}$，解得$p=\frac{1}{3}$，则$D(X)=np(1 - p)=2×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$D(Y)=3^{2}D(X)=4$.故选A.

4. 为应对高考、中考期间高温天气，给学生创造舒适的考场环境，某省教育厅宣布，全部地市将在高考、中考考场安装空调。某商场销售某种品牌的空调器，每周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每台空调器仅获利润200元。该商场记录了去年夏天(共10周)空调器需求量 $ n $(单位：台)，整理得下表。

以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，$ X $ 表示当周的利润(单位：元)，则当周的平均利润为(D)

A.10 000元
B.9 400元
C.8 800元
D.9 860元

答案： 4.D 当$n\geq20$时，$X = 500×20 + 200×(n - 20)=200n + 6000$；当$n\leq19$时，$X = 500n - 100(20 - n)=600n - 2000$，则可知X的可能取值为8800，9400，10000，10200，10400，所以$P(X = 8800)=0.1$，$P(X = 9400)=0.2$，$P(X = 10000)=0.3$，$P(X = 10200)=0.3$，$P(X = 10400)=0.1$，$X = 0.1×8800 + 0.2×9400 + 0.3×10000 + 0.3×10200 + 0.1×10400 = 9860$(元).故选D.

5. 如图，$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 是同一圆的内接正三角形，且 $ BC // EF $。将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 $ M $ 表示事件“豆子落在 $ \triangle ABC $ 内”，$ N $ 表示事件“豆子落在 $ \triangle DEF $ 内”，则 $ P(N|M) $ 等于(D)

A.$ \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{2\pi} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案：
5.D 如图，作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，$\triangle ABC$包含9个小三角形，满足事件$MN$的有6个小三角形，故$P(N|M)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.故选D.

6. 现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为 $ \frac{1}{6},\frac{1}{2},\frac{1}{3} $。随机变量 $ X $ 表示对此项目投资10万元一年后的利润，则 $ X $ 的均值为(A)

A.1.18
B.3.55
C.1.23
D.2.38

答案： 6.A 因为X的所有可能取值为1.2，1.18，1.17，$P(X = 1.2)=\frac{1}{6}$，$P(X = 1.18)=\frac{1}{2}$，$P(X = 1.17)=\frac{1}{3}$，所以X的分布列为
X 1.2 1.18 1.17
P $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$
则$E(X)=1.2×\frac{1}{6}+1.18×\frac{1}{2}+1.17×\frac{1}{3}=1.18$.故选A.

7. 已知 $ a,b $ 为实数，随机变量 $ X,Y $ 的分布列分别为

若 $ E(Y)=P(Y = -1) $，随机变量 $ \xi $ 满足 $ \xi = XY $，其中随机变量 $ X,Y $ 相互独立，则 $ E(\xi) $ 的取值范围是(B)

A.$ \left[-\frac{3}{4},1\right] $
B.$ \left[-\frac{1}{18},0\right] $
C.$ \left[\frac{1}{18},1\right] $
D.$ \left[\frac{3}{4},1\right] $

答案： 7.B 由$E(Y)=P(Y = - 1)$，得$-a + c = a$，即$c = 2a$.又$a + b + c = 1$，所以$b = 1 - 3a$.因为$a,b,c$均在区间$[0,1]$内，所以$\begin{cases}0\leq a\leq1\\0\leq1 - 3a\leq1\\0\leq2a\leq1\end{cases}$解得$0\leq a\leq\frac{1}{3}$.又$E(X)=-\frac{1}{3}+0+\frac{1}{6}=-\frac{1}{6}$，$E(Y)=-a + c=-a + 2a = a$，且$X,Y$相互独立，$\xi = XY$，所以$E(\xi)=E(XY)=E(X)E(Y)=-\frac{1}{6}a\in[-\frac{1}{18},0]$.故选B.

8. 如果数列 $ \{ a_{n}\} $ 不是等差数列，但若 $ \exists k \in \mathbf{N}^{*} $，使得 $ a_{k} + a_{k + 2} = 2a_{k + 1} $，那么称 $ \{ a_{n}\} $ 为“局部等差”数列。已知数列 $ \{ x_{n}\} $ 的项数为4，记事件 $ A $：集合 $ \{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\} \subseteq \{ 1,2,3,4,5\} $，事件 $ B $：$ \{ x_{n}\} $ 为“局部等差”数列，则条件概率 $ P(B|A) $ 等于(C)

A.$ \frac{4}{15} $
B.$ \frac{7}{30} $
C.$ \frac{1}{5} $
D.$ \frac{1}{6} $

答案： 8.C 由题意，数列$\{x_{n}\}$的项数为4，记事件A：集合$\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\subseteq\{1,2,3,4,5\}$，则事件A的基本事件共有$A_{5}^{4}=120$个.在满足事件A的条件下，事件B：$\{x_{n}\}$为“局部等差”数列，共有24个样本点，其中含1,2，3的局部等差数列分别为1,2,3,5；5,1,2,3；4,1,2,3，共3个.同理，含3,2,1的局部等差数列也有3个.含3，4,5和含5,4,3的情况与上述类似，各有3个.含2,3,4的局部等差数列有5,2,3,4；2,3,4,1，共2个.同理，含4,3,2的局部等差数列也有2个.含1,3,5的局部等差数列有1,3,5,2；2,1,3,5；4,1,3,5；1,3,5,4，共4个.同理，含5,3,1的局部等差数列也有4个.所以$P(B|A)=\frac{24}{120}=\frac{1}{5}$.故选C.