《2025年高中同步单元滚动强化卷高中数学选择性必修第三册人教A版》

1. 某班有 28 名男生，22 名女生，从中选一名同学作为数学课代表，则不同的选法有(C)

A.28 种
B.22 种
C.50 种
D.616 种

答案： 1.C 由分类加法计数原理可知，共有$28 + 22 = 50$种不同的选法.故选C.

2. 某食堂备有 6 种荤菜，5 种素菜，3 种汤。现要配制“一荤，一素，一汤”的套餐，则可以配制的不同套餐的种数为(B)

A.14
B.90
C.18
D.15

答案： 2.B 由分步乘法计数原理得，共有$6 × 5 × 3 = 90$种不同的配制方法.故选B.

3. 数列$\{ a_{n}\}$共有六项，其中四项均为 1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列$\{ a_{n}\}$共有(A)

A.30 个
B.31 个
C.60 个
D.61 个

答案： 3.A 在数列$\{ a_{n}\}$的六项中，只要考虑两个非$1$的项的位置，即得不同数列，共有$A_{6}^{2} = 30$个不同的数列.故选A.

4. $A_{4}^{2}-C_{3}^{2}$等于(A)

A.9
B.12
C.15
D.3

答案： 4.A $A_{4}^{2} - C_{3}^{3} = 4 × 3 - \frac{3 × 2}{2 × 1} = 12 - 3 = 9$.故选A.

5. 在$(x^{2}-\frac {1}{x})^{5}$的二项展开式中，第 2 项的系数为(D)

A.10
B.$-10$
C.5
D.$-5$

答案： 5.D 展开式中的第$2$项为$T_{2} = C_{5}^{1}(x^{2})^{5 - 1}( - \frac{1}{x})^{1}$，所以其系数为$- C_{5}^{1} = - 5$.故选D.

6. 用 4 种不同的颜色涂图中的矩形 $A$，$B$，$C$，$D$，若要求有公共边界的矩形涂色不同，则不同涂法有(D)


A.72 种
B.48 种
C.24 种
D.108 种

答案： 6.D 涂A共$4$种涂法，则涂B有$3$种涂法，涂C有$3$种涂法，涂D有$3$种涂法，所以共有$4 × 3 × 3 × 3 = 108$种涂法.故选D.

7. 设$(3x+\frac {1}{x})^{n}$展开式的各项系数之和为 $M$，其二项式系数之和为 $N$。若 $M + N = 272$，则 $n$的值为(B)

A.1
B.4
C.3
D.$\frac {1}{2}$

答案： 7.B 由题意，得$M = 4^{n}$，$N = 2^{n}$.因为$M + N = 272$，所以$4^{n} + 2^{n} = 272$，解得$n = 4$.故选B.

8. 某电路图如图，在 $A$，$B$ 间有 4 个开关。若发现 $A$，$B$ 之间电路不通，则这 4 个开关打开或闭合的方式有(C)


A.3 种
B.8 种
C.13 种
D.16 种

答案： 8.C 每个开关都有打开或闭合这$2$种情形，故这$4$个开关共有$2 × 2 × 2 × 2 = 16$种可能，其中能使电路接通的情形有$1,4$都闭合，且$2$和$3$中至少有一个闭合，共有$3$种可能，故电路不通时，开关打开或闭合的不同情形共有$16 - 3 = 13$种.故选C.

9. 若 $C_{8}^{m - 1} \gt 3C_{8}^{m}$，则 $m$的取值可能是(BC)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： 9.BC 根据题意，对于$C_{m - 1}^{n - 1} ＞ 3C_{m}^{n}$，有$0 \leq m - 1 \leq 8$且$0 \leq m \leq 8$，则有$1 \leq m \leq 8$，若$C_{m - 1}^{n - 1} ＞ 3C_{m}^{n}$，则有$\frac{8!}{(m - 1)! · (9 - m)!} ＞ 3 × \frac{8!}{m! · (8 - m)!}$，整理，得$m ＞ 27 - 3m$，解得$m ＞ \frac{27}{4}$.综上，$\frac{27}{4} ＜ m \leq 8$，因为$m \in \mathbf{N}^{*}$，所以$m = 7$或$m = 8$.故选B、C.

10. $(1 + ax + by)^{n}$的展开式中不含 $y$的项的系数的绝对值的和为 32，则 $a$，$n$的值可能为(CD)

A.$a = 2$，$n = 5$
B.$a = 1$，$n = 6$
C.$a = -1$，$n = 5$
D.$a = 1$，$n = 5$

答案： 10.CD $(1 + ax + by)^{n}$的展开式可以看成$n$个$(1 + ax + by)$相乘，每个$(1 + ax + by)$中取$1,ax,by$之一求得乘积构成的每一项，$(1 + ax + by)^{n}$的展开式中不含$y$的项的系数的绝对值的和为$32$，即$C_{n}^{0} + C_{n}^{1}|a| + C_{n}^{2}|a|^{2} + ·s + C_{n}^{n}|a|^{n} = 32$，即$(1 + |a|)^{n} = 32$，结合四个选项，则$a,n$的值可能为$a = - 1,n = 5$，或$a = 1,n = 5$.故选C、D.