《2025年高中同步单元滚动强化卷高中数学选择性必修第三册人教A版》

1. 下列有关线性回归的说法，不正确的是(D)

A.具有相关关系的两个变量是非确定关系
B.散点图能直观地反映数据的相关程度
C.经验回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D.散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强

答案： 1.D 并不是散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强.故选D.

2. 下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是(D)

A.瑞雪兆丰年
B.名师出高徒
C.不积跬步，无以至千里
D.喜鹊叫喜，乌鸦叫丧

答案： 2.D 对于A，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系.对于B，名师水平高，可能使得学生学习好，所以名师出高徒具有相关关系.对于C，不积跬步，就不会有千里，所以不积跬步，无以至千里具有相关关系.对于D，喜鹊叫喜，乌鸦叫丧，两者没有必然的关系.故选D.

3. 某协会从2020年开始每年向敬老院捐赠物资和现金。下表记录了第$x$年(2020年是第1年)与捐赠的现金$y$(单位：万元)的对应数据。

由此表中的数据得到了$y$关于$x$的经验回归方程$\hat{y} = mx + 0.35$，则预测2026年捐赠的现金大约是(C)

A.5万元
B.5.2万元
C.5.25万元
D.5.5万元

答案： 3.C 由已知数据，得$\bar{x}=\frac{1}{4} × (3+4+5+6)=4.5$，$\bar{y}=\frac{1}{4} × (2.5+3+4+4.5)=3.5$，所以样本点的中心的坐标为$(4.5,3.5)$，代入$\hat{y}=mx+0.35$，得$3.5 = 4.5m+0.35$，解得$m = 0.7$，所以$\hat{y}=0.7x+0.35$，取$x = 7$，得$\hat{y}=0.7 × 7+0.35 = 5.25$，预测2026年捐赠的现金大约是5.25万元.故选C.

4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是(A)


A.$r_{2} ＜ r_{4} ＜ 0 ＜ r_{3} ＜ r_{1}$
B.$r_{4} ＜ r_{2} ＜ 0 ＜ r_{1} ＜ r_{3}$
C.$r_{4} ＜ r_{2} ＜ 0 ＜ r_{3} ＜ r_{1}$
D.$r_{2} ＜ r_{4} ＜ 0 ＜ r_{1} ＜ r_{3}$

答案： 4.A 由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，样本相关系数大于0；题图2和题图4是负相关，样本相关系数小于0；题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以$r_1$接近于1，$r_2$接近于$-1$，由此可得$r_2＜r_4＜0＜r_3＜r_1$.故选A.

5. 对具有线性相关关系的变量$x$，$y$有一组观测数据$(x_{i}, y_{i})(i = 1, 2, ·s, 8)$，其经验回归方程是$\hat{y} = \hat{b}x + \frac{1}{8}$，且$x_{1} + x_{2} + x_{3} + ·s + x_{8} = 2(y_{1} + y_{2} + y_{3} + ·s + y_{8}) = 6$，则实数$\hat{b}$的值是(C)

A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 5.C 因为$x_1+x_2+x_3+·s+x_8=6$，$y_1+y_2+y_3+·s+y_8=3$，所以$\bar{x}=\frac{3}{4}$，$\bar{y}=\frac{3}{8}$，所以样本中心点的坐标为$(\frac{3}{4},\frac{3}{8})$，代入经验回归方程，得$\frac{3}{8}=\hat{b} × \frac{3}{4}+\frac{1}{8}$，解得$\hat{b}=\frac{1}{3}$.故选C.

6. 在一次独立性检验中，得出$2×2$列联表如下：

最后发现，两个分类变量$A$和$B$没有任何关系，则$a$的可能值是(B)

A.200
B.720
C.100
D.180

答案： 6.B 根据表格中的数据，得$\chi^{2}=\frac{(1180+a)(200a - 180 × 800)^{2}}{1000 × (180+a) × 380 × (800+a)}$，当$a = 200$时，$\chi^{2}=\frac{(1180+200)(200 × 200 - 180 × 800)^{2}}{380 × (800+200) × (180+200) × 1000} \approx 130.37＞3.841$，此时两个变量有关系；当$a = 720$时，$\chi^{2}=\frac{(1180+720)(200 × 720 - 180 × 800)^{2}}{380 × (800+720) × (180+720) × 1000}=0$，此时两个分类变量A，B没有关系.故选B.

7. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

由表中数据，求得经验回归方程为$\hat{y} = -4x + \hat{a}$。若在这些样本点中任取一点，则它在经验回归直线左下方的概率为(B)

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 7.B 由题表中数据得$\bar{x}=6.5$，$\bar{y}=80$，由$\hat{y}=-4\bar{x}+\hat{a}$，解得$\hat{a}=106$，故经验回归方程为$\hat{y}=-4x + 106$.由题意知，有6个样本点，将$(4,90)$，$(5,84)$，$(6,83)$，$(7,80)$，$(8,75)$，$(9,68)$分别代入经验回归方程，由$84＜-4 × 5+106 = 86$，$68＜-4 × 9+106 = 70$，得$(5,84)$和$(9,68)$在经验回归直线的左下方，满足条件的只有2个样本点，故所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.故选B.

8. 指数型曲线$y = ae^{bx}$进行线性变换后得到的回归方程为$u = 1 - 0.6x$，则函数$y = x^{2} + bx + a$的单调递增区间为(B)

A.$(0, +\infty)$
B.$(\frac{3}{10}, +\infty)$
C.$(\frac{1}{2}, +\infty)$
D.$(1, +\infty)$

答案： 8.B 因为$y = ae^{bx}$，所以两边取对数，得$\ln y=\ln(ae^{bx})=\ln a+\ln e^{bx}=\ln a+bx$.由于指数型曲线$y = ae^{bx}$进行线性变换后得到的回归方程为$u = 1 - 0.6x$，则$u=\ln y$，$\ln a = 1$，$b = - 0.6$，即$a = e$，从而函数$y = x^{2}+bx+a = x^{2}-0.6x+e$，其图象开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{10}$，故所求单调递增区间为$(\frac{3}{10},+\infty)$.故选B.