《2025年高中同步单元滚动强化卷高中数学选择性必修第三册人教A版》

16. （15 分）从 7 名运动员中选出 4 人参加 $4×100$ 米接力赛，求满足下列条件的安排方法的种数：
（1）甲、乙 2 人都不跑中间两棒；
（2）甲、乙 2 人不都跑中间两棒。

答案： 16.解：
(1)从甲、乙之外的$5$人中选$2$人安排在中间两棒，有$A_{5}^{2}$种方法，再从余下的$5$人中安排首末两棒，有$A_{5}^{2}$种方法，所以满足条件的安排方法有$A_{5}^{2}A_{5}^{2} = 400$种.
(2)从$7$人中选$4$人安排接力赛，有$A_{7}^{4}$种方法；而甲、乙都跑中间两棒有$A_{2}^{2}A_{5}^{2}$种方法，所以满足条件的安排方法有$A_{7}^{4} - A_{2}^{2}A_{5}^{2} = 800$种.

17. （15 分）已知在$(\sqrt {x}+\frac {1}{2\sqrt [4]{x}})^{n}$的展开式中，前三项的系数成等差数列。
（1）求 $n$；
（2）求展开式中的有理项。

答案： 17.解：
(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为$C_{n}^{0}$，$\frac{1}{2}C_{n}^{1}$，$\frac{1}{4}C_{n}^{2}$，由题意，得$2 × \frac{1}{2}C_{n}^{1} = C_{n}^{0} + \frac{1}{4}C_{n}^{2}$，解得$n = 8(n = 1$舍去$)$.
(2)$(\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}})^{8}$的展开式的通项$T_{r + 1} = C_{8}^{r}(\sqrt{x})^{8 - r}(\frac{1}{2\sqrt{x}})^{r} = 2^{- r} · C_{8}^{r} · x^{4 - r}(r = 0,1,·s,8)$，要求有理项，则$4 - \frac{3r}{4}$必为整数，即$r = 0,r = 4,r = 8$，共三项，所以这三项分别是$T_{1} = x^{4}$，$T_{5} = \frac{35}{8}x$，$T_{9} = \frac{1}{256x^{2}}$.