《2025年高中同步单元滚动强化卷高中数学选择性必修第三册人教A版》

16. （15 分）设袋中有 5 个红球、3 个黑球和 2 个白球。
（1）有放回地摸球三次，每次摸 1 个球，求第三次才摸到白球的概率；
（2）不放回地摸球三次，每次摸 1 个球，求第三次才摸到白球的概率。

答案： 16.解：设$A$=“第一次未摸到白球”，$B$=“第二次未摸到白
球”，$C$=“第三次摸到白球”，则事件“第三次才摸到白
球”可表示为$ABC$.
(1)当有放回地摸球时，$P(A)=\frac{8}{10}$，$P(B|A)=\frac{8}{10}$，
$P(C|AB)=\frac{2}{10}$，
所以$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=\frac{2}{10} × \frac{8}{10} × \frac{8}{10}=\frac{16}{125}$.
(2)当不放回地摸球时，$P(A)=\frac{8}{10}$，$P(B|A)=\frac{7}{9}$，
$P(C|AB)=\frac{2}{8}$，
所以$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=\frac{2}{8} × \frac{7}{9} × \frac{8}{10}=\frac{7}{45}$.

17. （15 分）某单位有 8 名青年志愿者，其中男青年志愿者 5 人，记为 $ a_1 $，$ a_2 $，$ a_3 $，$ a_4 $，$ a_5 $，女青年志愿者 3 人，记为 $ b_1 $，$ b_2 $，$ b_3 $。现从这 8 人中选 4 人参加某项公益活动。
（1）求男青年志愿者 $ a_1 $ 或女青年志愿者 $ b_1 $ 被选中的概率；
（2）在男青年志愿者 $ a_1 $ 被选中的情况下，求女青年志愿者 $ b_1 $ 也被选中的概率。

答案： 17.解：
(1)设$C$=“男青年志愿者$a_1$和女青年志愿者$b_1$都
不被选中”，则$P(C)=\frac{C_6^3}{C_8^3}=\frac{3}{14}$，
故所求概率为$P(\overline{C})=1-P(C)=1-\frac{3}{14}=\frac{11}{14}$.
(2)记$A$=“男青年志愿者$a_1$被选中”，$B$=“女青年志
愿者$b_1$被选中”，
则$P(A)=\frac{C_7^3}{C_8^3}=\frac{1}{2}$，$P(AB)=\frac{C_6^2}{C_8^3}=\frac{3}{14}$，
故所求概率为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{14}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{7}$.