《2025年大联考单元期末测试卷七年级数学上册沪科版》

15. 一样大小的$8$个长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示，若拼成如图2所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为$2\mathrm{cm}$的小正方形。设小长方形的长为$x\mathrm{cm}$，宽为$y\mathrm{cm}$，可列方程组为$\begin{cases}3x = 5y,\\x + 2y - 2x = 2\end{cases}$。

答案： $\begin{cases}3x = 5y,\\x + 2y - 2x = 2\end{cases}$

16. 为了测量隧道的长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始进入隧道到完全出隧道共用时$24\mathrm{s}$，整列火车完全在隧道内的时间为$14\mathrm{s}$，整列火车长$300\mathrm{m}$。请你根据小明和小亮获得的数据，求隧道的长度和火车通过隧道时的速度。

答案： 16.解：设隧道的长度为xm，火车通过隧道时的速度为ym/s.
依题意，得$\begin{cases}24y = x + 300,\\14y = x - 300,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 1140,\\y = 60.\end{cases}$
答：隧道的长度为1140m，火车通过隧道时的速度为60m/s.

17. 为了有效落实中小学每天$60$分钟大课间体育活动，某中学为七年级各班购买了一些彩色鸡毛毽子和跳绳，如表是部分班级购买的情况：（注：$a$，$b$都不为$0$）
(1) 求购买一个毽子、一根跳绳各需多少元。
(2) 求出表中$a$，$b$的值。

答案： 17.解：
(1)设购买一个毽子需x元，一根跳绳需y元.
由题意，得$\begin{cases}8x + 6y = 178,\\14x + 3y = 139,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 5,\\y = 23.\end{cases}$
答：购买一个毽子需5元，一根跳绳需23元.
(2)根据题意，得5a+23b=165，所以a=33-\frac{23}{5}b.
因为a,b均为正整数，所以$\begin{cases}a = 10,\\b = 5.\end{cases}$
答：a的值为10，b的值为5.

18. 某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买$A$，$B$两种品牌的足球，已知购买一个$B$品牌足球比购买一个$A$品牌足球多$30$元，购买$2$个$A$品牌足球和$3$个$B$品牌足球共需$340$元。
(1) 求购买一个$A$品牌足球和一个$B$品牌足球各需多少元。
(2) 该中学决定购买$A$，$B$两种品牌足球共$50$个，恰好商场对两种品牌足球的售价进行调整，$A$品牌足球售价比原来提高$8\%$，$B$品牌足球按原售价的九折出售，若此次购买$A$，$B$两种品牌足球的总费用为$3060$元，则该中学购买$B$品牌足球多少个？

答案： 18.解：
(1)设购买一个A品牌足球需要x元，购买一个B品牌足球需要y元.
根据题意，得$\begin{cases}y - x = 30,\\2x + 3y = 340,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 50,\\y = 80.\end{cases}$
答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元.
(2)设该中学购进B品牌足球m个，则购进A品牌足球(50-m)个.
由题意，得50×(1+8%)(50-m)+80×0.9m=3060，
解得m=20.
答：该中学购买B品牌足球20个.