《2025年新编基础训练七年级数学上册人教版》

22. 对于有理数 $ a $，$ b $，定义新运算“$ \triangle $”，规则如下：$ a \triangle b = ab - a - b + 4 $，如 $ 3 \triangle 5 = 3 × 5 - 3 - 5 + 4 = 11 $。
(1) 求 $ 3 \triangle (-4) $ 的值；
(2) 请你判断交换律在“$ \triangle $”运算中是否成立，并给出理由。

答案： 解:
(1)因为a△b=ab-a-b+4,
所以3△(-4)
=3×(-4)-3-(-4)+4
=-12+(-3)+4+4
=-7.
(2)交换律在“△”运算中成立.
理由:由题意可得,a△b=ab-a-b+4,
b△a=ab-b-a+4,
所以a△b=b△a,
所以交换律在“△”运算中成立.

$23. 【$概念学习$】$　　
现规定：求若干个相同的有理数$($均不等于$ 0 )$的商的运算叫除方，比如$ 2 ÷ 2 ÷ 2 ，$$ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) $等，类比有理数的乘方，我们把$ 2 ÷ 2 ÷ 2 $写作$ ，$读作$“ 2 $的圈$ 3 $次方$”，$$ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3) $写作$ ，$读作$“ (-3) $的圈$ 4 $次方$”，$一般地，把$ n $个$ a ( a \neq 0 )$的商$ \underbrace{a ÷ a ÷ a ÷ \cdots ÷ a}_{n 个 a} $写作$ ，$读作$“ a $的圈$ n $次方$”。$　　
除方$ $乘方幂的形式。　　
$【$初步探究$】$　　
$(1) $直接写出计算结果：　　$1$　　，　　$-2$　　。　　
$(2) $下列关于除方的说法中，错误的有　　$④$　　$($填序号$)。$　　
$① $任何非零数的圈$ 2 $次方都等于$ 1 ；$　　
$② $任何非零数的圈$ 3 $次方都等于它的倒数；　　
$③ $负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；　　
$④ $圈$ n $次方等于它本身的数是$ 1 $或$ -1 。$　　
$【$深度学习$】$　　
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢$？$　　
$(3) $归纳：请把有理数$ a ( a \neq 0 )$的圈$ n ( n \geqslant 3 )$次方写成幂的形式：　　$(\frac{1}{a})^{n-2}$　　。　　
$(4) $比较大小：　　$＞$　　$($选填$“ ＞ ”“ ＜ ”$或$“ = ”)。$　　
$(5) $计算：。　　

答案： 解$:$　　
$(1)1 -2 $　　
$(2)④ $　　
$(3)(\frac{1}{a})^{n-2} $　　
$(4)＞$　　
$(5)\frac{1}{2}$　　
$=-1+196-\frac{1}{2}×\frac{1}{49}$　　
$=\frac{19109}{98}.$