《2025年暑假综合练习河北人民出版社七年级数学》

10. 已知$\left\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = 1\end{array} \right.和\left\{\begin{array}{l} x = - 2,\\ y = 11\end{array} \right.都是关于x$,$y的二元一次方程ax + by = 7$的解,则$a = $2,$b = $1.

答案： 2 1

11. 已知$\frac{3}{5}x^{m + n}y^{m - n}与- 9x^{7 - m}y^{1 + n}$的和是单项式,则$m$,$n$的值分别是$m = 3$，$n = 1$.

答案： 【解析】：
本题考查的知识点是同类项的概念及二元一次方程组的解法。
题目中给出的两个式子的和为单项式，说明这两个式子是同类项。同类项的定义是字母部分（包括字母和字母的指数）完全相同的项。因此，可以根据同类项的定义列出方程组，求解$m$和$n$。
列出方程组：
由于$x$的指数部分需要相等，有$m + n = 7 - m$。
由于$y$的指数部分需要相等，有$m - n = 1 + n$。
将上述两个方程组合，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}m + n = 7 - m \\m - n = 1 + n\end{cases}$，
解这个方程组，可以得到$m$和$n$的值。
将第一个方程化简得：$2m + n = 7$ ①，
将第二个方程化简得：$m - 2n = 1$ ②，
将①式乘以2后与②式相加，得到：
$5m = 15$，
解得$m = 3$，
将$m = 3$代入①式，解得$n = 1$。
【答案】：
$m = 3$，$n = 1$。

12. 如果关于$x$,$y的二元一次方程组\left\{\begin{array}{l} x - y = a,\\ x + y = 3a\end{array} \right.的解也是二元一次方程3x - 5y - 7 = 0$的一个解,那么$a$的值为7.

答案： 7

13. 甲、乙两人在$400m$的环形跑道上同一起点同时背向起跑,$25s$后相遇,若甲先从起跑点出发,半分钟后,乙也从该点同向出发追赶甲,再过$3min$后乙追上甲,设甲、乙二人的速度分别为$x m/s$,$y m/s$,则根据题意列方程组为$\begin{cases}25(x + y)=400\\180y=(30 + 180)x\end{cases}$.

答案： 1. 首先分析背向起跑的情况：
已知环形跑道长$400m$，甲、乙两人背向起跑$25s$后相遇。
根据路程$=$速度$×$时间，两人背向跑时，他们的相对速度是$(x + y)m/s$，那么$25$秒所跑的路程之和就是跑道的长度$400m$，可列方程$25(x + y)=400$。
2. 然后分析同向追赶的情况：
甲先出发半分钟（半分钟$ = 30s$），乙出发后$3min$（$3min=3×60 = 180s$）追上甲。
甲跑的总时间是$(30 + 180)s$，速度是$x m/s$，则甲跑的路程是$(30 + 180)x$；乙跑的时间是$180s$，速度是$y m/s$，则乙跑的路程是$180y$。
当乙追上甲时，两人跑的路程相等，可列方程$180y=(30 + 180)x$。
所以根据题意列方程组为$\begin{cases}25(x + y)=400\\180y=(30 + 180)x\end{cases}$。

14. 某公司向银行申请了甲、乙两种贷款,共计$68$万元,每年需付出$8.42$万元利息. 已知甲种贷款每年的利率为$12\%$,乙种贷款每年的利率为$13\%$,则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元、26万元.

答案： 1. 设甲种贷款数额为$x$万元，乙种贷款数额为$y$万元：
根据贷款总额可列方程：$x + y=68$，则$y = 68 - x$。
根据利息总额可列方程：$12\%x+13\%y = 8.42$。
2. 将$y = 68 - x$代入$12\%x + 13\%y=8.42$中：
得到$12\%x+13\%(68 - x)=8.42$。
展开式子：
根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$，$13\%(68 - x)=13\%×68-13\%x$，则原方程变为$0.12x+0.13×68−0.13x = 8.42$。
计算$0.13×68 = 8.84$，方程为$0.12x+8.84−0.13x = 8.42$。
移项：
把含有$x$的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，$0.12x−0.13x=8.42 - 8.84$。
合并同类项：
根据$ax+bx=(a + b)x$，$(0.12−0.13)x=8.42 - 8.84$，即$-0.01x=-0.42$。
求解$x$：
两边同时除以$-0.01$，$x=\frac{-0.42}{-0.01}=42$。
3. 求$y$的值：
把$x = 42$代入$y = 68 - x$，得$y=68 - 42 = 26$。
所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为$42$万元、$26$万元。

15. 解下列方程组.
(1) $\left\{\begin{array}{l} y = 2x - 3,\\ 3x + 2y = 5;\end{array} \right.$ (2) $\left\{\begin{array}{l} 5x - 2y = 3.3,\\ 2x + 3y = 15.\end{array} \right.$

答案： 【解析】：
本题考查的是二元一次方程组的解法。对于第一个方程组，可以通过将第一个方程代入第二个方程中，消去$y$，从而得到一个只包含$x$的方程，进而求解$x$和$y$。对于第二个方程组，可以通过将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，然后相加，消去$y$，得到一个只包含$x$的方程，进而求解$x$和$y$。
【答案】：
(1)
解：
由方程$y = 2x - 3$，代入方程$3x + 2y = 5$，得：
$3x + 2(2x - 3) = 5$
$3x + 4x - 6 = 5$
$7x = 11$
$x = \frac{11}{7}$
将$x = \frac{11}{7}$代入$y = 2x - 3$，得：
$y = 2 × \frac{11}{7} - 3 = \frac{22}{7} - \frac{21}{7} = \frac{1}{7}$
所以，方程组的解为：
$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{11}{7} \\ y = \frac{1}{7} \end{array} \right.$
(2)
解：
将方程$5x - 2y = 3.3$乘以3，方程$2x + 3y = 15$乘以2，得：
$15x - 6y = 9.9$
$4x + 6y = 30$
将上述两个方程相加，得：
$19x = 39.9$
$x = 2.1$
将$x = 2.1$代入$5x - 2y = 3.3$，得：
$5 × 2.1 - 2y = 3.3$
$10.5 - 2y = 3.3$
$-2y = -7.2$
$y = 3.6$
所以，方程组的解为：
$\left\{ \begin{array}{l} x = 2.1 \\ y = 3.6 \end{array} \right.$

16. 定义新运算：$x\oplus y = ax + by - 5$,其中$a$,$b$为常数. 已知$1\oplus 2 = - 9$,$(- 3)\oplus 3 = - 2$.
(1) 求$a$,$b$的值； (2) 若$\left\{\begin{array}{l} m\oplus n = - 1,\\ (2m)\oplus \left(\frac{n}{2}\right) = 4,\end{array} \right.求m$,$n$的值.

答案：
(1)解：由题意得
$\begin{cases}a×1 + b×2 - 5 = -9 \\a×(-3) + b×3 - 5 = -2\end{cases}$
化简得
$\begin{cases}a + 2b = -4 \\-3a + 3b = 3\end{cases}$
由第二个方程得$-a + b = 1$，即$a = b - 1$，代入第一个方程：
$b - 1 + 2b = -4$
$3b = -3$
$b = -1$
则$a = -1 - 1 = -2$
(2)解：由
(1)知$x\oplus y = -2x - y - 5$，则
$\begin{cases}-2m - n - 5 = -1 \\-2×(2m) - \frac{n}{2} - 5 = 4\end{cases}$
化简得
$\begin{cases}2m + n = -4 \\8m + n = -18\end{cases}$
两式相减：$6m = -14$，$m = -\frac{7}{3}$
代入$2m + n = -4$：$2×(-\frac{7}{3}) + n = -4$，$n = \frac{2}{3}$
答案：
(1)$a=-2$，$b=-1$；
(2)$m=-\frac{7}{3}$，$n=\frac{2}{3}$