《2025年预习新初一北师大版》

【问题情境】如图,现有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单,小华准备将其四个角各剪去一个小正方形,折成一个无盖长方体形纸盒.
【操作探究】
(1)剪去的小正方形的边长按整数值依次变化,即当分别取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm时,折成的无盖长方体形纸盒的容积分别是多少?请你将计算的结果填入下表:
|剪去正方形的边长/cm|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|容积/cm³|324|512|588|576|500|384|252|128|36|0|
【操作分析】
(2)观察绘制的统计表,你发现,随着减去的小正方形的边长的增大,所折无盖长方体形纸盒的容积如何变化? (C)
A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
(3)猜想:当剪去小正方形的边长(取整数)为3cm时,所得的无盖长方体形纸盒的容积最大,此时无盖长方体形纸盒的容积是588cm³.
【操作反思】
(4)对(1)中的结果,你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗?
表格中的数据只列出了剪去小正方形边长为整数时的情况，实际上，剪去的小正方形边长还可以为非整数，如小数，因此表格中的数据可以进一步细化，以更精确地找出使容积最大的剪去边长。

答案： 【解析】：
(1)根据长方体的体积公式，即长$×$宽$×$高，
当剪去的小正方形边长为3cm时，
长方体的长为$20-2×3=14$（cm），
宽也为14cm，高为3cm，
所以容积为$14×14×3=588$（$cm^3$）；
当剪去的小正方形边长为4cm时，
长方体的长为$20-2×4=12$（cm），
宽也为12cm，高为4cm，
所以容积为$12×12×4=576$（$cm^3$）。
(2)通过观察表格，可以看到随着剪去的小正方形边长的增大，纸盒的容积先增大后减小，
故选C。
(3)通过观察表格，当剪去的小正方形边长为3cm时，所得的无盖长方体形纸盒的容积最大，此时容积为$588cm^3$。
(4)表格中的数据只列出了剪去小正方形边长为整数时的情况，实际上，剪去的小正方形边长还可以为非整数，如小数，因此表格中的数据可以进一步细化，以更精确地找出使容积最大的剪去边长。
【答案】：
(1)588；576
(2)C
(3)3；588
(4)表格中的数据只列出了剪去小正方形边长为整数时的情况，实际上，剪去的小正方形边长还可以为非整数，如小数，因此表格中的数据可以进一步细化，以更精确地找出使容积最大的剪去边长。

练2-1 如图,将长为a,宽为b的长方形纸板的四角都切去一个边长为x的正方形,然后将四周突出部分折起,制成一个长方体形的无盖纸盒.下列说法正确的为 (B)

A.纸盒的容积等于$(a-2x)(b-2x)$
B.纸盒的表面积为$ab - 4x^{2}$
C.纸盒的底面积为$ab - 2(a + b)x - 2x^{2}$
D.若制成的纸盒是正方体,则必须满足$a = b = 2x$

答案： B