《2025年快乐之星暑假篇七年级数学》

25. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二,直金十九两；牛二、羊五,直金十六两. 问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊,值19两银子；2头牛、5只羊,值16两银子. 问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文,提出以下两个问题：
(1)每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊,且银两必须全部用完),问：该商人有几种购买方法？列出所有的可能.

答案：
(1)设每头牛值$x$两银子，每只羊值$y$两银子。由题意，得
$\begin{cases}5x + 2y = 19\\2x + 5y = 16\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子。
(2)设购买$a$头牛，$b$只羊。由题意，得
$3a + 2b = 19$
则$b=\frac{19 - 3a}{2}$
$\because a$，$b$都是正整数
$\therefore$当$a = 1$时，$b = 8$；当$a = 3$时，$b = 5$；当$a = 5$时，$b = 2$
答：该商人有3种购买方法，分别为①1头牛，8只羊；②3头牛，5只羊；③5头牛，2只羊。

26. 新房装修后,甲居民购买家居用品的清单如下表,因污水导致部分信息无法识别,根据下表解决问题：
(1)直接写出$a$,$b$的值；
(2)甲居民购买了垃圾桶、塑料鞋架各几个？
(3)若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品共花费150元,则有哪几种不同的购买方案？

答案：
(1) $a = 45$，$b = 35$
(2) 设购买垃圾桶$x$个，塑料鞋架$y$个。
由题意得：
$\begin{cases}2 + x + y + 2 + 1 = 8 \\ 60 + 15x + 40y + 90 + 35 = 280\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}$
答：垃圾桶1个，塑料鞋架2个。
(3) 设购买艺术饰品$m$个，垃圾桶$n$个。
由题意得：$45m + 15n = 150$，化简得$n = 10 - 3m$。
$\because m$，$n$为正整数，
$\therefore$当$m = 1$时，$n = 7$；
当$m = 2$时，$n = 4$；
当$m = 3$时，$n = 1$。
方案一：艺术饰品1个，垃圾桶7个；
方案二：艺术饰品2个，垃圾桶4个；
方案三：艺术饰品3个，垃圾桶1个。