《2025年快乐之星暑假篇七年级数学》

7. 已知关于$x$,$y的方程组\left\{\begin{array}{l} 2ax-3by= 2c,\\ 3ax+2by= 16c\end{array} \right. 的解是\left\{\begin{array}{l} x= 4,\\ y= 2,\end{array} \right. 则关于x$,$y的方程组\left\{\begin{array}{l} 2ax-3by+2a= 2c,\\ 3ax+2by+3a= 16c\end{array} \right. $的解是(B)
A.$\left\{\begin{array}{l} x= 4,\\ y= 2\end{array} \right. $
B.$\left\{\begin{array}{l} x= 3,\\ y= 2\end{array} \right. $
C.$\left\{\begin{array}{l} x= 5,\\ y= 2\end{array} \right. $
D.$\left\{\begin{array}{l} x= 5,\\ y= 1\end{array} \right. $

答案： 7. B

8. 对于二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-5y= 1,\\ x+y= 3,\end{array} \right. 我们把x$,$y$的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：$\begin{bmatrix} 2&-5&1\\ 1&1&3\end{bmatrix} $,用加减消元法解二元一次方程组的过程,就是对方程组中各方程中未知数的系数进行变换的过程。如解二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-3y= 3,\\ 3x-2y= 7\end{array} \right. $时,我们用加减消元法消去$x$,得到的矩阵为(D)
A.$\begin{bmatrix} 2&-3&3\\ 2&-2&7\end{bmatrix} $
B.$\begin{bmatrix} 4&-6&6\\ 9&-6&21\end{bmatrix} $
C.$\begin{bmatrix} 6&-9&3\\ 6&-4&7\end{bmatrix} $
D.$\begin{bmatrix} 6&-9&9\\ 6&-4&14\end{bmatrix} $

答案： 8. D

9. 若方程组$\left\{\begin{array}{l} x-y= 0,\\ 2ax+by= 4\end{array} \right. 与方程组\left\{\begin{array}{l} 2x+y= 3,\\ ax+by= 3\end{array} \right. $有相同的解,求$a$,$b$的值。

答案： 解：因为两个方程组有相同的解，所以联立不含$a$、$b$的方程：
$\begin{cases}x - y = 0 \\2x + y = 3\end{cases}$
由$x - y = 0$得$x = y$，将$x = y$代入$2x + y = 3$，得$2x + x = 3$，$3x = 3$，解得$x = 1$，则$y = 1$。
把$x = 1$，$y = 1$代入含$a$、$b$的方程：
$\begin{cases}2a×1 + b×1 = 4 \\a×1 + b×1 = 3\end{cases}$
即：
$\begin{cases}2a + b = 4 \\a + b = 3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程：$(2a + b) - (a + b) = 4 - 3$，得$a = 1$。
把$a = 1$代入$a + b = 3$，得$1 + b = 3$，解得$b = 2$。
所以$a = 1$，$b = 2$。

10. 阅读材料：
善于思考的小军在解方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+5y= 3①\\ 4x+11y= 5②\end{array} \right. $时,采用了一种“整体代换”的解法。
解：将方程②变形为$4x+10y+y= 5$,即$2(2x+5y)+y= 5③$。
把方程①代入③,得$2×3+y= 5$,解得$y= -1$。
把$y= -1$代入①,得$x= 4$。
因此,方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x= 4,\\ y= -1.\end{array} \right. $
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-3y= 5,\\ 6x-11y= 9;\end{array} \right. $
(2)已知$x$,$y满足方程组\left\{\begin{array}{l} 3x^{2}-2xy+12y^{2}= 47,\\ 2x^{2}+xy+8y^{2}= 36,\end{array} \right. 求x^{2}+4y^{2}-xy$的值。

答案： 10.
(1)
$\begin{cases}x = 7 \\y = 3\end{cases}$
(2) 解：
$\begin{cases}3x^2 - 2xy + 12y^2 = 47, ① \\2x^2 + xy + 8y^2 = 36. ②\end{cases}$
将方程①变形为 $3(x^2 + 4y^2) - 2xy = 47$，即 $x^2 + 4y^2 = \frac{47 + 2xy}{3}$ ③. 把③代入②，得 $2 × \frac{47 + 2xy}{3} + xy = 36$，解得 $xy = 2$. 由① - ②，得 $x^2 - 3xy + 4y^2 = 11$，$\therefore x^2 + 4y^2 = 11 + 3 × 2 = 17$，$\therefore x^2 + 4y^2 - xy = 17 - 2 = 15$.