《2025年快乐之星暑假篇七年级数学》

2. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.对于数轴上的任意两个点,右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.

答案： 2. 点 实数 大

3. 设$a$表示实数,则：
(1)$a$的相反数是$-a$.
(2)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即：
$\vert a\vert =\left\{\begin{array}{l}a(a＞0),\\ 0(a= 0),\\ -a(a＜0);\end{array} \right. \vert a\vert \geq 0.$

答案： 3.
(1) $-a$
(2) 它本身 它的相反数

【例1】把下列各数分别填入相应的大括号中：$15,\frac {π}{4},-\sqrt {3},\frac {1}{2},0,\sqrt {4},-3.14,\frac {15}{7},-\sqrt [3]{9},\sqrt [3]{-0.064}.$
正实数：{ ···}；
分数：{ ···}；
负实数：{ ···}；
无理数：{ ···}.

答案：

【答案】正实数：$\{ 15,\frac {π}{4},\frac {1}{2},\sqrt {4},\frac {15}{7},... \} ;$

分数：$\{ \frac {1}{2},-3.14,\frac {15}{7},\sqrt [3]{-0.064},... \} ;$

负实数：$\{ -\sqrt {3},-3.14,-\sqrt [3]{9},\sqrt [3]{-0.064},... \} ;$

无理数：$\{ \frac {π}{4},-\sqrt {3},-\sqrt [3]{9},... \} .$

【方法点睛】本题考查实数的分类,认真掌握正实数、负实数、整数、分数、无理数、非负数等定义与特点.注意：0是整数,但不是正数.

【变式训练1】把下列各数分别填入相应的集合中：$-3.1415926,0,\sqrt {7},π,-\sqrt [3]{8},\frac {1}{7},-\sqrt {36},-1.414,\sqrt [3]{2},-0.2121121112...$(每两个2间依次多一个1).
有理数集合：{ ···}；
无理数集合：{ ···}；
负实数集合：{ ···}.

答案： 有理数集合：$\left\{-3.1415926, 0, -\sqrt[3]{8}, \frac{1}{7}, -\sqrt{36}, -1.414, \cdots\right\}$；
无理数集合：$\{\sqrt{7}, \pi, \sqrt[3]{2}, -0.2121121112\cdots$（每两个 2 间依次多一个 1）$, \cdots\}$；
负实数集合：$\{-3.1415926, -\sqrt[3]{8}, -\sqrt{36}, -1.414, -0.2121121112\cdots$（每两个 2 间依次多一个 1）$, \cdots\}$。

【例2】在学习《实数》内容时,我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出$\sqrt {2}$的近似值,得出$1.4＜\sqrt {2}＜1.5$.请利用“逐步逼近”法,回答下列问题：
(1)若$\sqrt {17}$介于连续的两个整数a和b之间,且$a\lt b$,则$a=$4,$b=$5；
(2)若$x$是$\sqrt {17}+2$的小数部分,$y$是$\sqrt {17}-1$的整数部分,则$x=$$\sqrt {17}-4$,$y=$3；
(3)在(2)的条件下,$(\sqrt {17}-x)^{y}$的平方根是$\pm 8$.

答案：

【解析】
(1)$\because 16＜17＜25,\therefore 4＜\sqrt {17}＜5,\therefore a= 4,b= 5.$

(2)$\because 4＜\sqrt {17}＜5,\therefore 6＜\sqrt {17}+2＜7,3＜\sqrt {17}-1＜4,\therefore x= \sqrt {17}-4,y= 3.$

(3)当$x= \sqrt {17}-4,y= 3$时,$(\sqrt {17}-x)^{y}= [\sqrt {17}-(\sqrt {17}-4)]^{3}= 64$.又64的平方根为$\pm 8$,故$(\sqrt {17}-x)^{y}的平方根为\pm 8$.

【答案】
(1)4 5
(2)$\sqrt {17}-4$ 3
(3)$\pm 8$

【方法点睛】本题主要考查无理数的估算,“逐步逼近”是估算的一般方法,也是常用方法.