《2025年快乐之星暑假篇七年级数学》

25. 课堂上老师讲解了比较$\sqrt{11} - \sqrt{10}和\sqrt{15} - \sqrt{14}$的方法,观察发现$11 - 10 = 15 - 14 = 1$,于是比较这两个数的倒数：
$ \frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{10}}{(\sqrt{11} - \sqrt{10})(\sqrt{11} + \sqrt{10})} = \sqrt{11} + \sqrt{10} $；
$ \frac{1}{\sqrt{15} - \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{14}}{(\sqrt{15} - \sqrt{14})(\sqrt{15} + \sqrt{14})} = \sqrt{15} + \sqrt{14} $.
因为$\sqrt{15} + \sqrt{14}＞\sqrt{11} + \sqrt{10}$,
所以$\frac{1}{\sqrt{15} - \sqrt{14}}＞\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}}$,
则有$\sqrt{15} - \sqrt{14}＜\sqrt{11} - \sqrt{10}$.
请你设计一种方法比较$\sqrt{8} + \sqrt{3}与\sqrt{6} + \sqrt{5}$的大小.

答案： 解：$(\sqrt{8} + \sqrt{3})^2 = 8 + 2\sqrt{8}×\sqrt{3} + 3 = 11 + 2\sqrt{24}$，
$(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 = 6 + 2\sqrt{6}×\sqrt{5} + 5 = 11 + 2\sqrt{30}$，
$\because 24 ＜ 30$，
$\therefore \sqrt{24} ＜ \sqrt{30}$，
$\therefore 11 + 2\sqrt{24} ＜ 11 + 2\sqrt{30}$，
$\therefore (\sqrt{8} + \sqrt{3})^2 ＜ (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2$，
$\because \sqrt{8} + \sqrt{3} ＞ 0$，$\sqrt{6} + \sqrt{5} ＞ 0$，
$\therefore \sqrt{8} + \sqrt{3} ＜ \sqrt{6} + \sqrt{5}$。

26. 观察下列各式及其验证过程：
①$2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$,验证：
$2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2^3}{3}} = \sqrt{\frac{(2^3 - 2) + 2}{2^2 - 1}} = \sqrt{\frac{2(2^2 - 1) + 2}{2^2 - 1}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$；
②$3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$,验证：
$3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3^3}{8}} = \sqrt{\frac{(3^3 - 3) + 3}{3^2 - 1}} = \sqrt{\frac{3(3^2 - 1) + 3}{3^2 - 1}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想$4\sqrt{\frac{4}{15}}$的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律,写出用$n$($n$为任意自然数,且$n\geq2$)表示的等式,并给出证明.

答案：
(1)猜想：$4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$
验证：$4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{4^3}{15}}=\sqrt{\frac{(4^3 - 4) + 4}{4^2 - 1}}=\sqrt{\frac{4(4^2 - 1) + 4}{4^2 - 1}}=\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$
(2)$n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}}$
证明：$n\sqrt{\frac{n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{(n^3 - n) + n}{n^2 - 1}}=\sqrt{\frac{n(n^2 - 1) + n}{n^2 - 1}}=\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}}$